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base de E
Bonjour,
Soit E l'ensemble des suites reels verifiant un+2-5un+1+6un=0
Montrer que (2n,3n) est une base de E.
Voilà mon raisonnement:
j'ai commence par montrer que cette famille est génératrice (en esperant avoir l'unicité des coeff. en même temps)
(2n,3n) génératrice de E
un
E
(
)
tel que un=
2n+
3n
Or un E donc
un+2-5un+1+6un=2n+2+
3n+2-5
2n+1-5
3n+1+6
2n+6
3n=0
donc 2n
(2²-5x2+6)+
3n
(3²-5x3+6)=0
Donc 2n
0 +
3n
0=0
Donc il existe tel que un=
2n+
3n
Donc c'est une famille génératrice. Mais je n'ai pas l'unicité des coefficients, donc il faut que je montre qu'elle est libre.
Soit (a,b) R, a2n+b3n=0
a=0 et b=0.
Le problème est que ca me parit evident, mais je ne vois pas comment le montrer.
Est-ce que ce je fais pour montrer qu'elle est génératrice est correcte ? ET comment faire pour montrer que la famille est libre ?
Merci
Bonsoir rust
je me trompe peut-être mais je pense que pour la première parie de ta demo (que la famille est génératrice) est partielle.
Tu as seulement démontré que si la suite est est une combinaison des deux suites, alors cette suite est dans E. Tu n'as pas démontré la reciproque.
Pour montrer que la famille est libre, il suffit de prendre des valeurs particulières de n (par exemple n=0 et n=1=.
Kaiser
et bien, j'ai montrer que pour tout un de E, on peut trouver a et b telle un=a2n+b3n, ce qui revient a dire que la famille(2n,3n) es une base de E, non ?
Ben c'est bizarre, je ne vois pas dans ta démonstration où tu montres que la famille est génératrice.
Pour moi, tu as montré que si , alors
appartient à E, et non le contraire.
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