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Niveau maths spé
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Base de Mn(K)

Posté par
batmanfs
17-10-21 à 18:59

Bonjour, j'espère que vous allez bien. SVP, est ce que quelqu'un a une idée sur cet exercice:
Soient(X1,X2,.....,Xn) et (Y1,Y2,....,Yn) deux bases de Mn,1(K). Montrer que (XitYj)1i,jn est une base de Mn(K)

Posté par
carpediem
re : Base de Mn(K) 17-10-21 à 19:26

salut

à quelle condition une famille de vecteurs est-elle une base ?

Posté par
batmanfs
re : Base de Mn(K) 17-10-21 à 19:28

Si, elle est libre et génératrice. Dans ce cas il suffit de montrer l'un des deux parce que c'est une famille à n² vecteur (c'est bien la dimension de Mn(K)

Posté par
Ulmiere
re : Base de Mn(K) 17-10-21 à 19:55

Comment sais-tu qu'il y en a n^2 ?
Qu'est-ce qui empêche le scalaire \langle X_1, Y_1\rangle d'être différent de \langle X_2, Y_2\rangle par exemple ?

Posté par
Ulmiere
re : Base de Mn(K) 17-10-21 à 19:57

Erreur : ce n'est pas un scalaire mais une matrice. Mais la question tient toujours

Posté par
etniopal
re : Base de Mn(K) 18-10-21 à 09:22

    Utiliser les matrices " élémentaires "
  Ek  ( k {1,...,n} ) de Mn,1(K)  
et
  Ep,q (p,q)   {1,...,n}²)  de Mn(K) .

Posté par
carpediem
re : Base de Mn(K) 18-10-21 à 17:20

en posant M_{ij} = (X_i ^tY_j) la question à se poser est :

existe-t-il des réels a_{ij} non tous nuls tels  que \sum_{i,j} a_{ij} M_{ij} = O (la matrice nulle) ?

ou encore l'une des matrices M_{ij} est-elle combinaison linéaire des autres matrices M_{ij} ?

Posté par
lionel52
re : Base de Mn(K) 18-10-21 à 17:54

Hello ! Il existe un vecteur Z orthogonal à X2,...,Xn mais pas à X1

Posté par
DOMOREA
Base de Mn(K) 21-10-21 à 14:08

bonjour,
Avec un peu de retard je vois ce post qui n'a pas eu de réponse définitive (malgré une indication cruciale de etniopal)
Soit P et Q les matrices dont les colonnes sont respectivement les vecteurs Xi et Yi
les notations pour les matrices élémentaires sont les notations classiques utilisées par etniopal

X_i=PE_i et Y_j=QE_j

X_i (Y_j)^T=PE_i (QE_j)^T)=PE_{i,j} Q^T

l'hypothèse \sum_{i,j}\lambda_{i,j}X_i (Y_j)^T=\sum_{i,j}P(E_i (E_j)^T)Q^T=\sum_{i,j}\lambda_{i,j}PE_{i,j} Q^T=P(\sum_{i,j}\lambda_{i,j}E_{i,j})Q^T=0_{m_n}(K)
implique puisque  P et Q sont inversibles doncQ^Taussi que \sum_{i,j}\lambda_{i,j}E_{i,j})=0_{m_n}(K)
d'où \forall i,j  \lambda_{i,j}=0 les n² matrices (X_i (Y_j)^T) sont donc linéairement indépendantes

Posté par
GBZM
re : Base de Mn(K) 21-10-21 à 19:23

Bonsoir,

Je me permets de relever une incompréhension d'Ulmière : la famille des X_iY_j^{\mathsf T} est bien indexée par un ensemble à n^2 éléments. Il suffit donc de démontrer que c'est une famille libre, ou que c'est une famille génératrice, pour montrer que c'est une base de M_n(K), comme le dit batmanfs.

L'objection "qu'est-ce qui empêche deux éléments de cette famille d'être égaux ?" n'a donc aucune pertinence.



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