salut

à quelle condition une famille de vecteurs est-elle une base ?

Si, elle est libre et génératrice. Dans ce cas il suffit de montrer l'un des deux parce que c'est une famille à n² vecteur (c'est bien la dimension de M_n(K)

Comment sais-tu qu'il y en a ?
Qu'est-ce qui empêche le scalaire d'être différent de par exemple ?

Erreur : ce n'est pas un scalaire mais une matrice. Mais la question tient toujours

    Utiliser les matrices " élémentaires "
  E_k  ( k {1,...,n} ) de M_n,1(K)  
et
  E_p,q (p,q)   {1,...,n}²)  de M_n(K) .

en posant la question à se poser est :

existe-t-il des réels non tous nuls tels  que (la matrice nulle) ?

ou encore l'une des matrices est-elle combinaison linéaire des autres matrices ?

Hello ! Il existe un vecteur Z orthogonal à X2,...,Xn mais pas à X1

bonjour,
Avec un peu de retard je vois ce post qui n'a pas eu de réponse définitive (malgré une indication cruciale de etniopal)
Soit P et Q les matrices dont les colonnes sont respectivement les vecteurs Xi et Yi
les notations pour les matrices élémentaires sont les notations classiques utilisées par etniopal

et



l'hypothèse
implique puisque  P et Q sont inversibles doncaussi que
d'où les n² matrices sont donc linéairement indépendantes

Bonsoir,

Je me permets de relever une incompréhension d'Ulmière : la famille des est bien indexée par un ensemble à éléments. Il suffit donc de démontrer que c'est une famille libre, ou que c'est une famille génératrice, pour montrer que c'est une base de , comme le dit batmanfs.

L'objection "qu'est-ce qui empêche deux éléments de cette famille d'être égaux ?" n'a donc aucune pertinence.