Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Base duale
Bonsoir à tous,
Exercice :
Dans K3, on considère les formes linéaire suivant :
f1(x,y,z)= x+y-z
f2(x,y,z)= x-y+z
f3(x,y,z)= x+y+z
1) Montrer que (f1,f2,f3) est une base de K3*
2) Trouver la base duale.
Alors je suis vraiment au point zéro au niveau des bases duale, je n'ai aucun cours concernant cela donc évidemment aucune méthode pour trouver une base duale. Jai tout de même fait quelques recherches concernant les bases duales, je comprend la définition mais pour cette exercice concrètement je ne sais pas du tout comment procéder. Avez vous des méthodes à me donner ?? Merci
Pour la première question j'ai fais cela :
1) - (f1,f2,f3) 
K3* donc c'est une famille génératrice
- le déterminant de (f1,f2,f3) =4 donc c'est une famille libre
Ainsi c'est bien une base de K3*
Mon problème est donc au niveau de la question 2..
Bonsoir,
on a le droit de dire
(f1,f2,f3)
K3* donc c'est une famille génératrice En particulier, si f2=2f1 et f3=3f1, la famille (f1,f2,f3) n'est pas génératrice.
Ah.. Euh vraiment je suis perdu alors. Comment montrer la question 1) alors ? Je pensais que le calcule du déterminant suffisait pour démontrer qu'il s'agissait d'une base.. Pourrais tu m'éclairer ?
Pour la question 2) je n'ai rien fais je n'ai aucune idée de comment déterminer une base duale.
Si vous avez un petit exemple simple a me montrer pour illustrer je suis preneuse ..
Bonsoir verdurin,
Je n'ai pas compris, la famille (f1,f2,f3) n'est pas génératrice mais je peux quand même le dire ?
En un sens le calcul du déterminant suffit. Mais il faut faire un petit raisonnement pour justifier que ça suffit.
Et faire un calcul juste pour le déterminant, le tien est faux.
Pour la question 2), il s'agit de trouver une base (e1,e2,e3) de K3 telle que
f1(e1)=k1e1
f2(e2)=k2e2
f3(e3)=k3e3
Ps : on a le droit de dire ce que l'on veut, même si c'est totalement faux, tant que l'on enfreint pas les lois de la république.
D'accord, je peux donc prendre la base canonique de K3, on a donc (e1,e2,e3)= ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
Il faudra résoudre les systèmes :
f1(x,y,z)=x+y-z= 1
f2(x,y,z)=x-y+z= 0
f3(x,y,z)=x+y+z= 0
On obtient e1*(1/2,0,-1/2)
f1(x,y,z)=x+y-z= 0
f2(x,y,z)=x-y+z= 1
f3(x,y,z)=x+y+z= 0
On obtient e2*(1/2,-1/2,0)
f1(x,y,z)=x+y-z= 0
f2(x,y,z)=x-y+z= 0
f3(x,y,z)=x+y+z= 1
On obtient e3*(0,1/2,1/2)
Donc B*= (e1*,e2*, e3*), la base duale
Est ce juste ?
Apres vérification il y a bien une erreur de signe dans mon déterminant, c'était -4 et non 4. C'est bien l'erreur que vous avez relevé ?
Ton calcul est juste si K=R ou K=C.
En fait il est juste si K est un corps de caractéristique différente de 2.
Je ferais juste une remarque sur les notations :
en principe on met une étoile à l'espace des formes linéaires, éléments de K3*.
En mettre une aux éléments de K3 n'est pas une erreur mathématique, mais rend tes notations difficilement lisibles.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac