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Base orthonormée

Posté par
sarb 11-08-24 à 10:54

Bonjour j'ai une question sur le déterminant d'une matrice de changement de bases orthonormées.

B = (e1,...,en)  et  B'=(e'1,...,e'n)   deux bases orthonormées de E

P = P_B^B' = [ (e'_j,e_i)]_{1\leq i,j\leq n

Et P^T = [ (e'_i,e_j)]_{1\leq i,j\leq n

(On voudra montrer que P^TP = In)

Donc pour tout i,j dans [1,n] :

[P^TP]_{i,j}= \sum_{k=1}^{n}{(e'_i,e_k)(e'_j,ek)}
Puis ce que je ne comprends pas dans la suite c'est que :

\sum_{k=1}^{n}{(e'_i,e_k)(e'_j,ek)} = (e'_i,e'_j) car B' est une bon


Pouvez vous donc m'expliquer s'il vous plait cette dernière égalité

Merci beaucoup

Posté par
Ulmierere : Base orthonormée 11-08-24 à 11:52

Je n'ai pas compris si tu as déjà montré que P^TP = I, ou si tu cherches à le montrer ? Et où est le question sur le déterminant ?

En tout cas, si tu as déjà montré que P^TP = I, alors (P^TP)_{i,j} = I_{i,j} = \delta_{i,j} = \langle e_i', e_j'\rangle.

Sinon, il faut le montrer. Le calcul que tu as fait est correct

Citation :
(P^TP)_{i,j} = \sum_{k=1}^n (P^T)_{i,k}P_{k,j} = \sum_{k=1}^n P_{k,i}P_{k,j}.

Mais en tant que matrice de passage, la ième colonne de P n'est autre que le vecteur e_i.
Le calcul peut donc être poursuivi

(P^TP)_{i,j} = \sum_{k=1}^n P_{k,i}P_{k,j} = \langle e_i, e_j\rangle = \langle e_i', e_j'\rangle

La toute dernière égalité est justifiée  par le fait que ses deux membres ont pour valeur commune \delta_{i,j}.

Posté par
GBZMre : Base orthonormée 11-08-24 à 11:56

Bonjour,

C'est plutôt "car \large \mathcal B est une b.o.n."
En effet, si \large v est un vecteur, alors \large v=\sum_{k= 1}^n \langle v,e_k\rangle e_k, et ensuite tu sais comment se calcule le produit scalaire dans la base \large \mathcal B.

Posté par
sarbre : Base orthonormée 20-08-24 à 08:31

Bonjour, j'étais en vacances je viens de voir vos réponses,

Merci à vous, en développant (e'i|e'j) je suis bien retombé sur le résultat, bien que dans le sens direct cela ne me sautait pas aux yeux!

Merci encore !

Posté par
GBZMre : Base orthonormée 20-08-24 à 17:02

Avec plaisir.


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