Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Base orthonormée

Posté par
sarb 11-08-24 à 10:54

Bonjour j'ai une question sur le déterminant d'une matrice de changement de bases orthonormées.

B = (e1,...,en)  et  B'=(e'1,...,e'n)   deux bases orthonormées de E

P = P_B^B' = [ (e'_j,e_i)]_{1\leq i,j\leq n

Et P^T = [ (e'_i,e_j)]_{1\leq i,j\leq n

(On voudra montrer que P^TP = In)

Donc pour tout i,j dans [1,n] :

[P^TP]_{i,j}= \sum_{k=1}^{n}{(e'_i,e_k)(e'_j,ek)}
Puis ce que je ne comprends pas dans la suite c'est que :

\sum_{k=1}^{n}{(e'_i,e_k)(e'_j,ek)} = (e'_i,e'_j) car B' est une bon


Pouvez vous donc m'expliquer s'il vous plait cette dernière égalité

Merci beaucoup

Posté par
Ulmierere : Base orthonormée 11-08-24 à 11:52

Je n'ai pas compris si tu as déjà montré que P^TP = I, ou si tu cherches à le montrer ? Et où est le question sur le déterminant ?

En tout cas, si tu as déjà montré que P^TP = I, alors (P^TP)_{i,j} = I_{i,j} = \delta_{i,j} = \langle e_i', e_j'\rangle.

Sinon, il faut le montrer. Le calcul que tu as fait est correct

Citation :
(P^TP)_{i,j} = \sum_{k=1}^n (P^T)_{i,k}P_{k,j} = \sum_{k=1}^n P_{k,i}P_{k,j}.

Mais en tant que matrice de passage, la ième colonne de P n'est autre que le vecteur e_i.
Le calcul peut donc être poursuivi

(P^TP)_{i,j} = \sum_{k=1}^n P_{k,i}P_{k,j} = \langle e_i, e_j\rangle = \langle e_i', e_j'\rangle

La toute dernière égalité est justifiée  par le fait que ses deux membres ont pour valeur commune \delta_{i,j}.

Posté par
GBZMre : Base orthonormée 11-08-24 à 11:56

Bonjour,

C'est plutôt "car \large \mathcal B est une b.o.n."
En effet, si \large v est un vecteur, alors \large v=\sum_{k= 1}^n \langle v,e_k\rangle e_k, et ensuite tu sais comment se calcule le produit scalaire dans la base \large \mathcal B.

Posté par
sarbre : Base orthonormée 20-08-24 à 08:31

Bonjour, j'étais en vacances je viens de voir vos réponses,

Merci à vous, en développant (e'i|e'j) je suis bien retombé sur le résultat, bien que dans le sens direct cela ne me sautait pas aux yeux!

Merci encore !

Posté par
GBZMre : Base orthonormée 20-08-24 à 17:02

Avec plaisir.


Rechercher
Menu
Espace membre
23 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1729 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !