Niveau Master Maths

base précompacte d'une variété topologique

Posté par
cosinus314 10-03-24 à 16:46

Bonjour à tous, je travaille dans le Introduction to Smooth Manifolds de Lee. Je bloque sur un argument de la preuve du lemme suivant : toute variété topologique possède une base dénombrable de boules ouvertes précompactes.

Il commence par considérer le cas où notre variété topologique possèderait une unique carte (chart dans le texte anglais). C'est l'argument final que je ne comprend pas: je comprend que $\phi^{-1}(B)$ est une base dénombrable d'ouverts pour la topologie de M, mais pourquoi peut on dire que ces ouverts sont des précompactes ?

Merci de votre aide,
Thibault

$base précompacte d\'une variété topologique$

Posté par re : base précompacte d'une variété topologique 11-03-24 à 13:30

Bonjour,

$\varphi$ est un homéomorphisme donc il envoie l'adhérence d'une partie sur l'adhérence de l'image de cette partie. En particulier, si $K' \subset U$ est une partie précompacte, alors $\overline{K'} \subset U$ (sous-entendu l'adhérence relative dans U, mais dans le contexte du bouquin c'est également l'adhérence dans R^n) est un compact de U ; l'image d'un compact par une application continue étant compacte, tu en déduis que

$\overline{\varphi^{-1}(K)} = \varphi^{-1}(\overline{K})$

est un compact de M. Remplace K par les boules définies dans le livre et c'est tout bon. N'oublie pas que pour une bijection, l'image inverse d'une partie coïncide avec l'image directe de cette partie par la réciproque de la bijection.