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Base - somme directe
Salut à tous 
Soient E et F deux sous espaces d'un espace vectoriel V , {e1,e2,....,en} une base de E , {f1,f2,....,fn} une base de F .
Montrer que si la somme E+F est directe alors {e1,....,en,f1,....fn} est une base de E + F
Mon problème c'est que je comprends pas l'utilité de la somme directe ici car j'arrive à montrer cela sans elle.
Voici mon raisonnement :
Soit S = {e1,...,en,f1,...,fn}
{e1,...,en} engendre E => il existe X = (x1,...,xn) de E / x1e1 +...+ xnen
Même chose pour F (on remplace le X par Y , les x par y et les e par f)
On aura X+Y élément de E + F et X+Y = x1e1 + ... +xnen+y1f1+...+ynfn
=> S engendre E + F
{e1 , ... ,en} est libre => il existe a1 ,a2,...,an / a1e1+...+anen =0
de même pour {f1,...,fn}
En faisant la somme on aura :
a1e1+...+anen+b1f1+...+bnfn =0
=> s est libre
S engendre E + F et est libre donc est une base de E+F
Bon voilà
Bonjour,
Es tu sûr que E et F sont de dimension n? Tu es conscient alors que V est de dimension 2n?
La somme directe est nécessaire sinon ta famille de vecteurs ne serait pas libre.
Je vais commettre un acte pédagogique comme disait un collègue... 
Je ne serai donc plus disponible et passe la main.
Bonjour,
Pour démontrer que S engendre E+F, pas besoin de somme directe.
Mais partir de Z dans E+F.
Pour démontrer que S est libre, la somme directe est utile.
Dans ce que tu as écrit pour tenter de démontrer S libre, tu n'as rien démontré.
Revois la définition de famille libre qui n'a rien à voir avec ceci :
{e1 , ... ,en} est libre => il existe a1 ,a2,...,an / a1e1+...+anen =0
Je cherche depuis tout à l'heure dans ma tête mais je vois pas toujours en quoi la somme directe peut impliquer que S est libre.
Je m'explique :
{e1,...,en} est une base de E => qu'il engendre E et qu'il est libre
Alors il existe a1,a2,...,an appartenant à l'ensemble dans lequel V est un ev tel que a1e1+...+anen = 0 avec a1=a2=...=an=0
De meme que pour F
En faisant la somme des 2 j'obtiens que des coefficients nuls donc je peux conclure que S est libre?
Prenons un exemple :
E de base {e, f, g} et F de base {e+f, h}.
{e, f, g, e+f, h} n'est pas une base de E+F.
Mais E+F n'est pas une somme directe, car e+f est un vecteur non nul qui est dans E et aussi dans F.
Encore plus flagrant avec E de base {e, f} et F de base {e+f, f}. On a alors E= F.
Tu ne sembles pas avoir compris ce qu'est une famille libre.
Quelle en est la définition ?
Soit V un K-ev ,x1,x2,...,xn éléments de V
S ={x1,x2,...xn}
Pour tout a1,a2,...,an de K , a1x1 + a2x2+...+anxn =0 => a1=a2=...=an = 0
=> S est libre .
Oui. par définition, on a
S libre
Pour tout a1,a2,...,an de K , a1x1 + a2x2+...+anxn =0 => a1=a2=...=an = 0
Ce n'est pas ce que tu écris dans tes précédents messages.
J'ai pas compris ces 2 affirmations d'abord
-Mais E+F n'est pas une somme directe, car e+f est un vecteur non nul qui est dans E et aussi dans F.
-Encore plus flagrant avec E de base {e, f} et F de base {e+f, f}. On a alors E= F. Comment E = F ici?
Je pense avoir compris mon erreur
J'ai utilisé le fait que {e1,...,en} , {f1,...,fn} soient libres pour avoir des coefficients nuls or je dois montrer que cela l'implique?
@jarod128
Es tu sûr que E et F sont de dimension n? Tu es conscient alors que V est de dimension 2n?
@Xburner,
Somme directe signifie que l'intersection est réduite au vecteur nul.
Tu ne vois pas que les SEV de base {e, f} et {e+f, f} sont confondus ?
Pour la démonstration :
S = {e1, ..., en, f1, ..., fn}
Pour démontrer S libre, tu pars de a1e1+a2e2+ ... + anen + b1f1 + ... + bnfn = 0 .
Tu démontres que tous les coefficients a1, a2, ... , an, b1, ... , bn sont nuls.
J'ai posé ça
Et E inter F ={0}
Mais je suis bloqué , je sais pas comment aboutir au fait qu'il soit libre
Tu parles de plusieurs choses dans tes deux derniers messages.
Peux-tu essayer de préciser de quoi tu parles à chaque fois à l'avenir ?
Comment sont-ils confondus ?
Toute combinaison linéaire de e et e+f est une combinaison linéaire de e et f. Facile.
Toute combinaison linéaire de e et f est une combinaison linéaire de e et e+f. Moins immédiat.
J'ai posé ça
Et E inter F ={0}
Mais je suis bloqué , je sais pas comment aboutir au fait qu'il soit libre
@Sylvieg
Si V=E+F alors dim V <= dim E + dim F
Si la somme est directe, il y a égalité.
Dim V ne peut être strictement supérieur.
Bonjour
@Sylvieg
Si V=E+F alors dim V <= dim E + dim F
Si la somme est directe, il y a égalité.
Dim V ne peut être strictement supérieur.
mais il n'est dit nulle part que E+F serait égal à V tout entier
salut
Soient E et F deux sous espaces d'un espace vectoriel V , {e1,e2,....,en} une base de E , {f1,f2,....,fn} une base de F .
Montrer que si la somme E+F est directe alors {e1,....,en,f1,....fn} est une base de E + F
Mon problème c'est que je comprends pas l'utilité de la somme directe ici car j'arrive à montrer cela sans elle.
en posant n = Dim E et m = Dim F ...
or
et
donc tout vecteur w de E + F s'écrit de manière unique
donc par définition (d'une base)
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