Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... BTSForum de maths BTS TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau BTS
Partager :

BC sachant AB, AC et aire triangle

Posté par
Sinez 26-09-18 à 16:12

Bonjour,

Un exercice de trigo me pose problème :

Soit ABC un triangle quelconque d'aire A=12. Quelle peut être la longueur du côté BC sachant que AB=7 et AC=4 ?

J'ai utilisé la formule d'Héron A2 = p*(p-AB)*(p-AC)*(p-BC) pour isoler BC
Cependant p=(AB+AC+BC)/2. Donc je n'arrive pas à isoler BC dans la formule de Héron.

Est-ce la bonne façon ?

Merci,
Sinez

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:14

Bonjour Sinez.

Ici, il faut raisonner très simplement : tu sais que la longueur BC ne peut être supérieure à la somme des longueurs des deux autres cotés.

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:17

Et ne peut être inférieure à la différence (en valeur absolue) des longueurs des deux autres cotés.

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:19

salut

jsvdb : vu qu'on nous donne l'aire je pense qu'il faut raisonner plus finement ...

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:20

en particulier deux côtés et l'aire nous donne un angle ...

Posté par
Sinezre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:31

Merci pour vos réponses.

Faut-il utiliser la formule d'Al-Kashi ? Je ne vois pas comment la transformer pour faire apparaître l'aire…

Posté par
larrechre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:46

Bonjour,

Connaissant l'aire et les longueurs Ab et BC, tu peux calculer le sinus de l'angle en A.

Posté par
larrechre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:46

AB

Posté par
Pirhore : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:51

Bonjour,

avec l'aire tu peux trouver  \widehat {BAC}; ensuite avec Al Kashi tu calcules BC

Posté par
DOMOREABC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:55

bonjour,
AB.AC sin(\theta)/2=12  avec \theta=(\vec{AB},\vec{AC})
d'autre part avec Al-Kashi tu as une relation entre BC² et cos(\theta)

Posté par
Sinezre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 16:59

Je ne connais aucune formule qui relie l'aire à un angle. Pouvez-vous m'éclaircir ?

Posté par
Sinezre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:03

Merci
J'isole l'angle et je calcule le côté avec BC

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:04

A= (1/2) bc sin A = (1/2) ca sin B = (1/2) ab sin C

d'après la définition de l'aire d'un triangle .... (cours de collège)

Posté par
Sinezre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:08

Je trouve donc que l'angle vaut 59° et BC = 6

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:08

@carpediem : ah oui ! m***e, je me suis focalisé juste sur la question sans regarder le contexte avec précision.  Bon, désolé !
C'est le "quel peut-être" qui m'a induit en erreur.

Bon alors, je vais me rattraper. On trace une figure, on trace la hauteur issue de C qui s'abaisse en H sur AB.

On calcule facilement CH puisque  12 = 1/2 * 7 *CH (Aire = 1/2 * Base * Hauteur)

Ensuite on calcule AH puis HB puis CB dans le triangle rectangle CHB. Ça fait quelques calculs sympas.

Peut-être qu'il y a plus simple ...

Posté par
larrechre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:12

Sinez @ 26-09-2018 à 17:08

Je trouve donc que l'angle vaut 59° et BC = 6


En arrondissant par défaut, oui, mais il n'y a pas égalité.

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:13

Evidemment, quand je parle de calculs, je parle de calculs exacts, passer par les sinus d'Al Cachou ne donne que des arrondis.

Posté par
Sinezre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:14

Oui, j'ai arrondi.

Merci beaucoup à vous tous pour votre aide,
Sinez

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:27

de rien

Posté par
Pirhore : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 17:35

de rien  

Posté par
mousse42re : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 19:43

avec Pythagore (solution proposée par jsvdb, il me semble ) donne BC =\sqrt{65-8\sqrt{13}}

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 19:52

Allez pour le fun, avec mes notations 26-09-18 à 17:08 ---

BC = \sqrt {CH^2+HB^2}

HB = AB - AH=7-AH

CH = \frac{24}{7} (cf le post en question)

AH = \sqrt{AC^2-CH^2} = \sqrt{16-(\frac{24}{7})^2}

HB = 7 -\sqrt{16-(\frac{24}{7})^2}

BC = \sqrt {(\frac{24}{7})^2+\left(7 -\sqrt{16-(\frac{24}{7})^2}\right)^2} =6,0129518\cdots

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 26-09-18 à 19:53

mousse42 bien vu, j'ai eu la flemme de simplifier mais pas celle de faire des calculs déments

Posté par
luzakre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 10:25

Bonjour jsvdb !
Je me pose des questions !
Par la formule de Héron on a une équation de degré 4 (à priori, je n'ai pas fait les calculs).
Même en supposant (trop de flemme pour dire si c'est vrai) qu'il n'y a que deux racines réelles, il en manque une (supposer que la racine réelle est double ce serait un peu croire au père Noël) !

Après réflexion, il semblerait que ce soit encore un cas de solution géométrique à la "je vois donc...".
Tu as supposé (je ne dis pas que c'est faux) sans le démontrer que H est entre A,B mais il faudrait aussi étudier le cas où HB=AH+AB (le cas HB=AH-AB est exclu) ce qui fournit une deuxième solution. Je n'ai rien vérifié mais cette deuxième solution me semble plausible...
Selon tes calculs ce serait
BC = \sqrt {(\frac{24}{7})^2+\left(7 +\sqrt{16-(\frac{24}{7})^2}\right)^2} =9,688\cdots

On se demande alors pourquoi la solution trigonométrique semble donner une seule solution. Mais justement on en a deux également car, ayant calculé le sinus de l'angle A, la formule de Al-Kashi donne deux valeurs pour BC puisque \sin\hat A=k admet deux solutions (je parle d'angles de triangle) et il y a deux cosinus de signe contraire.

Posté par
verdurinre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 11:22

Bonjour,
un peu après la bataille, j'ai fait le calcul avec Xcas.

L'application de la formule de Héron donne :

-\dfrac{x^{4}}{16} +\dfrac{65\,x^{2}}{8} -\dfrac{3393}{16}=0

Qui a quatre solutions réelles :

-\sqrt{8\sqrt{13}+65},\ -\sqrt{-8 \sqrt{13}+65},\ \sqrt{-8 \sqrt{13}+65},\ \sqrt{8 \sqrt{13}+65}

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 12:29

Il y a bien deux solutions au problème, et même géométriquement, on le voit.

Si on dessine un segment [AB] de longueur 7 avec un point C sur [AB] tel que [AC] = 4, et si on fait tourner le point C autour de A, l'aire de ABC part de 0, passe par un pic, puis décroît vers 0 lorsque les point C, A et B sont alignés dans ce sens.

Le TVI nous dit que (sauf si  12 est l'aire maximale) il y a deux solutions.

D'où l'énonce "Quelle peut être la longueur du côté BC sachant ... " qui aurait pu être formulé de cette façon "Quelles peuvent être les longueurs du côté BC sachant ... ".

Dans ce que j'ai fait, je me suis contenté d'un angle \widehat {BAC} aigu. Il faut bien sur étudier l'angle obtus pour avoir la seconde solution. Auquel cas, le pied de la perpendiculaire est sur [AC] et non plus sur [AB].

Voilà, c'était histoire de faire de la géométrie sans passer par l'analyse. C'est plus sympa.

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 12:32

Après on peut interpréter les solutions négatives lorsque le point C continue de tourner  et que l'angle \widehat {BAC} devient saillant.

Posté par
luzakre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 14:32

Non !
L'équation proposée par verdurin donne la longueur du côté BC et les valeurs négatives me semblent difficilement interprétables.

En restant dans la géométrie élémentaire on peut dire :
Les points A,B étant donnés distants de 7, le point C se trouve sur le cercle de centre A et rayon 4 et sur une droite parallèle à AB à une distance de \dfrac{24}7.
Cette distance étant strictement inférieure à 4 (ce qui règle ton problème de solution maximale) il y a deux paires de points C convenables, symétriques par rapport à AB.

La formule de Héron ne donne que les longueurs et ne peut fournir que 2 solutions (c'est une méthode qui ne "voit" pas la symétrie).

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 15:10

Le problème d'aire maximale est en fait simple : c'est le triangle rectangle qui l'emporte avec 14 = (1/2)*7 * 4 .
On aurait pu le constater de suite pour ne rien oublier.

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 19:56

jsvdb @ 27-09-2018 à 12:29

D'où l'énonce "Quelle peut être la longueur du côté BC sachant ... " qui aurait pu être formulé de cette façon "Quelles peuvent être les longueurs du côté BC sachant ... ".
ben non !!!

le singulier ne présuppose pas qu'il n'y ait pas de pluriel

le pluriel l'implique (il s'auto-implique !!! ) ... et peut "enduire d'erreur" (comme dirait l'autre) quand la solution est singulière !!!

la question quelle est la longueur BC ? est du même type que résoudre l'équation ... qui ne consiste pas à donner une solution mais à donner toutes les solutions


la formule de Héron (d'Al-Kashi, E = Mc^2) n'est qu'une formule qui permet de calculer un nombre à partir d'autres nombres ... c'est une fonction !!

et comme toute fonction tout élément (réel, n-uplet, vecteur, ...) qui a une image n'en a qu'une !!!

ensuite il y a l'interprétation géométrique !!!  et c'est là que peuvent apparaître des situations multiples conduisant à la même image : il y a plusieurs "antécédents géométriques" ....

jsvdb @ 26-09-2018 à 17:08

@carpediem Bon alors, je vais me rattraper. On trace une figure, on trace la hauteur issue de C qui s'abaisse en H sur AB.


l'erreur est là (et luzak fait la même erreur) :

BC est un nombre
[BC] est un segment
(BC) est une droite

dans tous les cas le pieds de la hauteur est un élément de la droite (BC)

ensuite il peut appartenir au segment (BC] ... ou non ...


dans tous mes énoncés j'écris les mots segment, droite, intervalle, ... devant l'objet (le segment, la droite, l'intervalle, ...) : l'objet est précédé de sa catégorie

c'est ainsi qu'on évite d'écrire A = 2 - 3i (qui se peut avec géogebra) et qui ne peut se comprendre que quand on a acquis l'abstraction nécessaire à ce genre d'écriture ... et que les élèves n'ont pas (plus) ...



BC sachant AB, AC et aire triangle

on a bien quatre solutions géométriques !!

pour tout point B du cercle C(A, 7) il y a deux solutions "en C"
pour tout point C du cercle C(A, 4) il y a deux solutions "en B"

et 2 * 2 = 4

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 21:25

Amen !

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 21:29

à boire ou à manger ?

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 21:47

Les deux mais surtout un bon remontant !
Je viens de donner un cours à une élève de term ... et dernier contrôle ... 1,75/20 ... la D' totale ... "bouuuuh ! j'ai toujours appliqué bêtement mes formules, ça marchait, et maintenant je me rends compte que je dois réfléchir un peu" ... on a mis deux heures sur un truc qui se fait en une... donc oui, par pitié, un méga whisky coupé à l'ouzo et à la vodka ...

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 21:56

à ta santé !!!

encore une qui se noie dans ... un verre d'eau !!!

Posté par
verdurinre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:27

Bonsoir carpediem et jsvdb.

En fixant les points A et B ( respectivement les points A et C ) on a bien quatre positions possibles pour le point C ( respectivement B ).

Pour tout point B du cercle C(A, 7) il y a deux quatre solutions "en C". Qui sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Mais il me semble difficile de croire que les quatre solutions correspondent aux quatre solutions de l'équation tirée de la formule de Héron.

À une isométrie près, il n'y a que deux solutions.


En ce qui concerne l'équation tirée de la formule de Héron permettant de calculer BC=x en fonction de AB=c, de AC=b est de l'aire du triangle, que je note s, elle s'écrit

-x^4+2(b^2+c^2)x^2-{(b^2+c^2)}^2=16s^2

L'ensemble des solutions est donc du type {a , -a ; b ; -b} avec a=b si s=0 ou si s=bc/2.

Elles sont réelles si et seulement si sbc/2.
bien entendu, je suppose que s est positif.

Mais, avec des aires orientées, on aurait aussi deux solutions.

Sinon je prendrais bien un verre de schnaps.
S Gelt.

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:31

Un dé à coudre tu veux dire ...
Parce que ce j'aime bien, c'est le petit "ah ! bah en fait c'était tout simple" en fin de démo.
Bin ouais, juste à appliquer les définitions pour démontrer que \bar {z*z'} = \bar z *\bar {z'}

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:35

Opps désolé verdurin ... mais pour le verre de schnaps, tu es le bienvenu
S Gelt, la brasserie ?

Posté par
verdurinre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:45

'S Gèlt : « santé ! » en alsacien. C'est une des rares choses que je sais dire dans cette langue.
Je viens de vérifier l'orthographe

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:46

J'ai une subite envie de choucroute ...
Santé à toi aussi !

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:51

Citation :
Mais il me semble difficile de croire que les quatre solutions correspondent aux quatre solutions de l'équation tirée de la formule de Héron.
évidemment j'ai terminé mon propos par un petit délire

en fait j'ai animé mon dessin sur ggb et oui pour les quatre solutions par symétrie par rapport à  la droite portant l'un des côtés ...

faut que j'arrête de boire ... je vois double !!!

Posté par
verdurinre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:51

Pour la choucroute c'est le bon moment. Elle a déjà un peu fermentée, mais pas trop.

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:54

T'es sur place ! Petit veinard

Posté par
jsvdbre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 22:55

Avec un petit Gewurztraminer ... !

Posté par
luzakre : BC sachant AB, AC et aire triangle 27-09-18 à 23:35

@carpediem
Pour commencer, oui je ne devrais pas dire BC sans préciser droite, segment ou longueur.

Mais je ne suis pas d'accord avec ça :

Citation :

pour tout point B du cercle C(A, 7) il y a deux solutions "en C"
pour tout point C du cercle C(A, 4) il y a deux solutions "en B"
.

Tu as fait un dessin où le triangle est presque rectangle ce qui fausse un peu !
Mais si tu traces une droite, passant par C, parallèle à la droite AB tu auras un deuxième point C' sur le cercle (ou alors tu démontres que c'est une tangente et que ton triangle est bien rectangle) et les triangles ABC,ABC' ont même aire.
Par symétrie autour de la droite AB tu auras quatre solutions, toujours avec B fixé.

Mais cette abondance de triangles n'a rien à voir avec le problème qui demande seulement la longueur BC. Et là on n'a que deux solutions, B fixé ou pas !

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 28-09-18 à 15:33

pour mon dessin mes deux points B et C étaient animés ... la capture d'écran à l'instant t a donné cette figure qui n'est que pur hasard ...

la droite AB ... non la distance AB "sur" la droite (AB) ...

Posté par
luzakre : BC sachant AB, AC et aire triangle 29-09-18 à 10:46

Je pense que "droite AB" pour désigner la droite passant par les points distincts A,B est tout aussi valable et correcte que la notation - non normalisée - (AB)...

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 29-09-18 à 10:56

ha non ... pas du tout d'accord ...

la droite (AB)
la demi-droite [AB) (donc d'origine A)
le segment [AB]
la distance AB
le vecteur \vec {AB}
la mesure algébrique \bar {AB}
...

sont des notations normalisées et universelles

Posté par
luzakre : BC sachant AB, AC et aire triangle 29-09-18 à 15:05

Non, je refuse et préfère rester "anormal" tout en refusant aussi les "TAF" et autres "mdr" !

Comment va-t-on faire pour "lire" les livres écrits "avant" ?

Posté par
carpediemre : BC sachant AB, AC et aire triangle 29-09-18 à 17:12

utilisons alors la notation de la racine carrée du 15e16e siècle ou d'ailleurs plutôt des notations puisque chacun y allait de sa propre écriture ...



je n'affirme pas bien sur que tout ce qui est sur le net est vrai ... mais avec un peu de bon sens ... tout comme pour lire les "anciens" ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !