équation du cercle unité:

x²+y² = 1

y = +/- V(1-x²)

f(x,y) = |x +/- 2V(1-x²)|  avec x dans [-1 ; 1]

g(x) = x + 2V(1-x²)
g'(x) = 1 - (2x/V(1-x²))
extrema pour 1 - (2x/V(1-x²)) = 0
(2x/V(1-x²)) = 1
4x² = 1 - x²
5x² = 1
x = +/-(1/V5)  (avec V pour racine carrée)
g(1/V5) = 1/V5 + 2V(1-(1/5))
g(1/V5) = 1/V5 + 4/V5 = V5
g(-1/V5) = -1/V5 + 4/V5 = 3/V5
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h(x) = x - 2V(1-x²)
h'(x) = 1 + (2x/V(1-x²))
extrema pour 1 + (2x/V(1-x²)) = 0
(2x/V(1-x²)) = -1
4x² = 1 - x²
5x² = 1
x = +/- 1/V5

h(1/V5) =  (1/V5) - 2V(1-(1/5)) =  (1/V5)- 4/V5 = -3/V5
h(-1/V5) = -(1/V5) - 2V(1-(1/5)) = -V5
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De tout ce qui précède:
Le max de f(x,y) = |x +/- 2V(1-x²)| = V5
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Le max de f(x,y) a lieu pour x = -1/V5 et pour x = 1/V5
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Pour la valeur minimale:
Comme il s'agit d'une valeur absolue, la valeur minimale est >= 0.
Vérifions si = 0 est possible.

|x +/- 2V(1-x²)| = 0
x +/- 2V(1-x²) = 0
x = +/- 2V(1-x²)
x² = 4(1-x²)
x² = 4 - 4x²
5x² = 4
x = +/- 2/V5

Et donc la valeur minimale de f(x,y) = |x +/- 2V(1-x²)| est zéro.
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Remarque pour être strict, on ne devrait pas écrire:
f(x,y) = |x +/- 2V(1-x²)|
puisque à cause du +/- il y a 2 valeurs de f(x,y) qui correspondent à une seule valeur de x et donc f(x,y) n'est pas une fonction.

Peut-être faut-il diviser le problème en 2, un traitant le signe -, l'autre le +.
Moi je ne m'embarasse pas de ce genre de pinaillage.
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Sauf distraction, vérifie.