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besoin d aide avec des fonctions cos, des reels imaginaires purs
bonsoir a tous voilà l'exo qui me pose probleme, c'est pour mon dm que je dois rendre mardi:
soit x un reel.SVP, j'aimerai surtout comprendre car j'ai un DS samedi prochain
On pose z=osx+isin x et z'= sin (x+pi/2) + icos(x+pi/2)
en justifiant par un calcul, répondre vrai ou faux aux 5 questions suivantes
a) a t-on z=z'
b) a t-on z + z' reel
c) ,a t-on z-z' imaginaire pur?
d) a t-on z*z'=1?
e) a t-on arg(z/z')=2arg z
Merci de votre aide j'voue que j'ai du mal avec les fonction cosinus et sinus le meme exo ave des fonctions auraient été bien plus simple...Merci d'avance de vos reponses et desolé du derangement que je cause
sin(x+Pi/2)=cos x
cos(x+Pi/2)=-sin (x)
(regles de trigonometrie)
d'ou z'=cos(x)-isin(x)
1) non car sinon z et z' ont meme partie relle et meme
partie imaginaire pour tout x.
or sin(Pi/4) different de -sin(Pi/4).
b) z+z'=2*cos (x) donc vrai
c) z-z'=-2*i*sin(x) donc vrai
z*z'=(cos x +isin x)*(cos x-isinx)=cos^2 x+sin^2 x=1
donc vrai
d)
arg(z/z')=arg z-arg z'
cos(-x)=cos x
sin(-x)=-sin x
z'=cos(-x)+isin(-x)
d'ou Arg z'=-x=-Arg(z)
Arg(z/z')=2 Arg(z).
vrai.
Salut,
Z=e^(ix) et z'=e^(i(x+pi/2)).
Comme e^(ipi/2)=i, on a z'=iz.
A+ peut être
erreur c)z-z'=2*i*sin(x).ce qui ne change rien a la conclusion...
bonsoir 
,
je pense que tu devrais simplifier z'.
tu devrais savoir (et tu peux le retrouver sur le cercle trigonométrique, que:
cos(x+pi/2)=sin(x)
sin(x+pi/2)=-cos(x)
d'où z'=...
mais peut-être que ce n'est pas utile
pour le petit a, je ne vois pas où est le problème?
penses tu qu'ils sont égaaux? prend par exemple x=0 ou x=pi/2.
alors?
b)la question peut se traduire par:
la partie imaginaire de z+z'vaut-elle toujours 0?
reprend x=0, alors?
c)
idem ici:
la partie réel de z-z', vaut elle toujours 0?
le x=0 est toujours utile
d)
ici, tu auras besoin réellement de la simplification de départ
z'=sin(x)-icos(x)
fait simplement le produit, et regarde
e)
par contre ici, il vaut mieux garder ton z' de départ:
tu dois connaître ceci: arg(z/z')=arg(z)-arg(z')
(il n'y a pas de trigo ici)
que vaut arg(z)? arg(z')?
d'où?
sauf erreur de ma part
non cloclo z'=i(cos(x+Pi/2)-i*sin(x+Pi/2))
d'ou z'=i* exp(-i(x+Pi/2))
z'=exp(Pi*i/2-i*x-i*Pi/2)=exp(-i*x)=z barre
pour muriel
cos (a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)*sin(b)
d'ou cos(x+Pi/2)=cos(x)*cos(Pi/2)-sin(x)*sin(Pi/2)
cos (x+Pi/2)=-sin(x)
de meme sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
d'ou sin(x+Pi/2)=cos(x)
ceci c'est la façon bourru de trouver ces propriétés
je trouve que utiliser le cercle trigo est plus élégant, mais il est vrai que c'est ainsi qu'on le démontre
au moins avec ma methode, j'ai pas fait d'erreur...
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