un exerice trop dur pour moi.......
le plan affine euclidien P est rapporté à un repere cartesien orthonormé(o,i,j) .A tous point M DE coordonnées (x,y) du plan P , on associe le nombre complexe z= x+iy, affixe de M.
Soit Tabl'application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x,y) associe le point M' (x',y') verifiant:
systeme: x'= -1/2*x-ay
ET y'=ax-1/2*y+b
1.a) Montrer que pour tout a et b , Tab est bijective et admet un unique point invariant.
b) a est fixé. quel est l'ensemble décrit par le point invariant?
2.a) montrer qu'il existe une unique valeur de (a,b) pour laquelle Tab est une homothétie H.en donner le centre et le rapport
b) montrer qu'il existe deux valeur de a pour lesquelles Tab est une isometrie. on note R et S CES ISOMETRIES.
que poeut-on dire sur RoS et SoR pour b=0?
ils restent encore pas mal de question mais mes les reponses aux questions precedentes devrais bien me lancer. merci de votre aide.
Bonsoir job,
1a) Si on considère le système comme un système à deux icnonnues x et y on s'aperçoit que son déterminant vaut 1/4+a² donc pour tout a le déterminant du système est non nul donc on peut exprimer x et y en fonction de x' et y ' de manière unique d'où la bijectivité.
Pour les point invariants il suffit de faire x'=x et y'=y et de voir si la solution du système est unique. (c'est le cas puisque le déterminant du système obtenu vaut 9/4+a² et donc est non nul ce qui assure l'unicité de la solution)
1b. sauf erreur le point invariant a pour coordonnées ()
si a est constant on constate que
si a est nul : le point invariant se balade sur la droite x=0
2a.
si a est non nul : le point invariant se balade sur la droite d'équation
2b. Une homothétie de centre et de rapport k se traduit par
de sorte qu'en identifiant à 1a on doit nécessiarement ne pas avoir de y dans la première équation et de x ddans la seconde on en déduit que nécessairement .
On en déduit en identifiant le coefficient devant le x dans la première équation et le coefficient devant le y de la seconde équation que
en utilisant la dernière équation on en déduit que
en utilisant 1a. on en déduit que
et donc donc
l'homothétie cherchée est l'homothétie de centre O et de rapport
2.b. le déterminant d'une isométrie vaut
on en déduit donc que soit ...
Salut
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