Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

besoin d aide bijective,homothie et isométrie

Posté par job (invité) 23-04-05 à 21:28

un exerice trop dur pour moi.......


le plan affine    euclidien P est rapporté à un repere cartesien orthonormé(o,i,j) .A tous point  M DE coordonnées (x,y) du plan P , on associe le nombre complexe z= x+iy, affixe de M.
    
Soit Tabl'application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x,y) associe le point M' (x',y') verifiant:
systeme: x'= -1/2*x-ay
ET      y'=ax-1/2*y+b

1.a) Montrer que pour tout a et b , Tab est bijective et admet un unique point invariant.

b) a est fixé. quel est l'ensemble décrit par le point invariant?

2.a) montrer qu'il existe une unique valeur de (a,b) pour laquelle Tab est une homothétie H.en donner le centre et le rapport

b) montrer qu'il existe deux valeur de a pour lesquelles Tab est une isometrie. on note R et S CES ISOMETRIES.

que poeut-on dire sur RoS et SoR pour b=0?

ils restent encore pas mal de question  mais mes les reponses aux questions precedentes devrais bien me lancer. merci de votre aide.

Posté par
dad97 Correcteur
re : besoin d aide bijective,homothie et isométrie 23-04-05 à 22:27

Bonsoir job,

1a) Si on considère le système comme un système à deux icnonnues x et y on s'aperçoit que son déterminant vaut 1/4+a² donc pour tout a le déterminant du système est non nul donc on peut exprimer x et y en fonction de x' et y ' de manière unique d'où la bijectivité.
Pour les point invariants il suffit de faire x'=x et y'=y et de voir si la solution du système est unique. (c'est le cas puisque le déterminant du système obtenu vaut 9/4+a² et donc est non nul ce qui assure l'unicité de la solution)

1b. sauf erreur le point invariant a pour coordonnées (3$\rm -\frac{8ab}{27+12a^2} ; \frac{4b}{9+4a^2})

si a est constant on constate que 3$\rm x=-\frac{2a}{3}y

si a est nul : le point invariant se balade sur la droite x=0

2a.

si a est non nul : le point invariant se balade sur la droite d'équation 3$\rm y=-\frac{3}{2a}x

2b. Une homothétie de centre 3$\rm \Omega (\omega ,\gamma) et de rapport k se traduit par 3$\rm \array{\left{x'=kx-(k-1)\omega \atop y'=ky-(k-1)\gamma

de sorte qu'en identifiant à 1a on doit nécessiarement ne pas avoir de y dans la première équation et de x ddans la seconde on en déduit que nécessairement 3$\rm\blue\fbox{a=0}.
On en déduit en identifiant le coefficient devant le x dans la première équation et le coefficient devant le y de la seconde équation que 3$\rm\blue\fbox{k=-\frac{1}{2}}
en utilisant la dernière équation on en déduit que 3$\rm \gamma=\frac{2}{3}b
en utilisant 1a. on en déduit que 3$\rm \Omega (0;\frac{4}{9}b)

et donc 3$\rm\frac{4}{9}b=\frac{2}{3}b donc 3$\rm\blue\fbox{b=0}

l'homothétie cherchée est l'homothétie T_{_{0,0}} de centre O et de rapport -\frac{1}{2}


2.b. le déterminant d'une isométrie vaut 4$\rm\pm 1

on en déduit donc que \frac{1}{4}+a^2=\pm 1 soit 3$\rm\blue\fbox{a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}...

Salut



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1488 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !