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besoin d aide devoir maison sur fonction svp!
F est une fonctio définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et
pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x*2)
on admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une
expression de F(x). C est la courbe représentative de F dans un repère
orthonormal.
1) G est la fonction définie sur R par G(x)=F(x)+F(-x).
a) justifier que g est dérivable sur R et calculer G'(x) pour tout
réel x.
b)Calculer G(0) et déduisez-en que F est une fonction impaire.
2)H est la fonction définie sur I=0;+l'infini (intervalle ouvert)
par:
H(x)=F(x) +F(1/x).
a)Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x) pour tout réel x
dans I.
b)démontrer qur pour tout x dans I, H(x)=2F(1)
c)déduisez en que la limite de la fonction F en +l'infini est 2F(1).
d) Qu'en déduisez-vous pour la courbe C?
3) T est la fonction définie sur (-pi/2);(pi/2) (intervalle ouvert)
par: T(x)=F(tanx)-x.
a)calculer T'(x).
Qu'en déduisez-vous pour la fonction T?
b)Calculer F(1).
4)Dresser le tableau de variation de F sur R.
5)Tracer la courbe C, ses asymptotes et ses tengentes aux points d'abscisses
-1, 0, 1.
voilà, G rien compris dès le début je suis bloqué car je vois pas comment
répondre sans chercher une expression de F. J'espère une réponse,
une proposition, au moins quelque chose qui me mette sur la voie
car la je sais pas quoi faire du tout!!! s'il vous plait merci
beaucoup.
Bonjour,
1.a. On sait que F est dérivable donc G étant la somme de fonction dévrivables,
G est dérivable et on a :
G'(x) = F'(x) + F'(-x) = (1/1+x*2) + (1/1-x*2)
.... le reste tu peux le calculer ....
1.b. De même on connait F(0), ...
Pour toutes les questions, tu as juste besoin de F'...
OK ?
1)a)
F(x) et F(-x) sont deux fonctions definies et derivables sur R.
G la somme de ces deux fonctions est donc definie et derivable sur
R
On a
G'=[F(x)+F(-x)]'
=F'(x)-F'(-x)
=1/(1+x²)-1/(1+x²)=O
b)
G(0)=F(O)+F(O)=O
or commme G'=O G est une fonction constante qui est donc la fonction
nulle puique G(0)=0
on a donc pour tout x G(x)=0=F(x)+F(-x)
ce qui fait
F(-x)=-F(x) pour tout x donc F impaire
2)a)
pour x dans l'intervalle donné F(x) et F(1/x) sont definies et derivables
donc H la somme des deux est definie et derivable
On a
H'(x)=F'(x)-(1/x²)F'(1/x)
=1/(1+x²)-(1/x²)(1/(1+1/x²))
=1/(1+x²)-1/(1+x²)=O
b)
H est donc une fonction constante
elle vaut si on prends par exxemple x=1
H(1)=F(1)+F(1)=2F(1)=H(x) pout tout x
c)
on a pour tout x
F(x)+F(1/x)=2F(1)
si x tends vers +inf
comme 1/x tends vers 0 et que F(O)=0 il reste
lim F(x) en +inf=2F(1)
d)C a donc une asymptote horizontale d'equation y=2F(1)
3)a)
T'(x)=(1+tan²)F'(tanx)-1
=(1+tan²)(1/(1+tan²))-1
=1-1=0
T est une fonction constante,; cherchons sa valeur:
de plus T(O)=f(tan0)-0=f(O)-O=O-O=O
donc T est la fonction nulle.T(x)=0
b)
pour x dans l'intervalle donné on a
F(tanx)-x=T(x)=0
si on prend x=pi/4 qui est dans l'intervalle:
F(tanPi/4)-pi/4=0
F(1)=pi/4
4)F'(x)=1/(1+x²) toujours positif
F croit.
lim en +inf = 2F(1)=pi/2
F impaire donc lim en -inf=-pi/2
F(0)=O
avec ca tu fais le tableau....
5)La courbe est facile a tracer, ya les deux asymptotes pi/2 et -pi/2
en + et -inf, sinon ca fait comme un "S" applati, regardes sur
ta machine
en 0 pente=1
en 1 et -1 pente =1/2
voila, en gros
A+
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