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Besoin d aide pour DM fonctions trigo, merci
Bonjour à tous les correcteurs!
Après un dédut d'année plutôt catastrophique, votre aide me serait des plus précieuse pour remonter mon niveau. Ce devoir me pose problème, j'ai beau essayé je n'arrive pas à résoudre l'exercice!
Je vous remercie vraiment à l'avance de votre aide et vous souhaite une bonne soirée!
Encore merci!
1. On pose f(x)=sin^5(x)
a. Linéariser f(x) à l'aide des formules d'Euler et de la formule du binôme de Newton.
b. En déduire [0]integrale[/pi] f(x) dx.
c. Montrer que f(x)=sin x.(1-2cos^2(x)+cos^4(x)).
En déduire la primitive F de f nulle en 0 puis retrouver le résultat du b.
2. Soit n un entier naturel non nul, on pose f(indice n)(x)=sin2x + sin 4x + ... +sin 2nx.
a. Factoriser f(indice n) et en déduire ses racines.
Vérifier votre factorisation pour f(indice2)avec les formules de trigonométrie.
b. En déduire par dérivation une autre expression S(x)= [k=1]somme[/n]k.cos 2kx
Attention : Distinguer x = 0[pi] et x ± 0[pi]
3. On pose f(x)=sin 5x et Q(x)=16X^5 - 20X^3 + 5X.
a. Donner l'ensemble S des racines de f et donner son cardinal.
Donner S'=S inter ]-pi;pi], card S' et le représenter sur le cercle trigonométrique.
Donner E= sin(S) et montrer que card E=5. Ordonner les éléments de E par ordre croissant.
b. A l'aide de la formule de Moivre, déterminer un polynôme P tel que pour tout x appartenant à R , f(x)=P(X) où X=sin 1.
Attention : un polynôme est une application de R dans R de la forme P(X)= a0 + a1X+a2X^2+...+an.X^n.
c. Donner une racine évidente de Q puis en posant Y=X^2, déterminer l'ensemble E' des racines de Q en les ordonnant par ordre croissant.
d. Montrer que les éléments de E sont racines de Q, en déduire que E inclus E' puis que E=E'.
e. En déduire la valeur exacte de sin(pi/5).
Vérifier ce résultat avec la calculatrice en en donnant une valeur approchée à 10puissance(-4) près.
Bonjour
Tu n'arrives vraiment à traiter aucune question ? Il doit y avoir un probléme au niveau du cours ...
Je n'arrive qu'à faire que très peu de questions et la rapidité des cours ne permet pas de les avoir dans leur totalité!
Il serait très gentil de votre part de me donner quelques pistes ou quelques réponses aux questions que je pourrais ensuite retrouver par moi même!
Merci!
Début.
Pae Euler:
sin(x) = [e^(i.x) - e(-i.x)]/2i
sin²(x) = [e^(2i.x) + e(-2.i.x) - 2]/(-4)
sin^4(x) = [e^(4i.x) + e(-4.i.x) + 4 + 2.e^(2i.x).e(-2.i.x) - 4.e^(2i.x) - 4.e^(-2i.x) ]/16
sin^4(x) = [e^(4i.x) + e(-4.i.x) + 4 + 2 - 4.e^(2i.x) - 4.e^(-2i.x) ]/16
sin^5(x) = sin^4(x) . sin(x)
sin^5(x) = [e^(4i.x) + e(-4.i.x) + 4 + 2 - 4.e^(2i.x) - 4.e^(-2i.x) ].[e^(i.x) - e^(-i.x)]/(32i)
sin^5(x) = [e^(5i.x) + e(-3.i.x) + 6.e^(ix) - 4.e^(3i.x) - 4.e^(-i.x) - e^(3i.x) - e(-5.i.x) - 6.e^(-ix) + 4.e^(i.x) + 4.e^(-3i.x)]/(32i)
sin^5(x) = [e^(5i.x) - e(-5.i.x) + e(-3.i.x) - e^(3i.x)- 4.e^(3i.x) + 4.e^(-3i.x) + 6.e^(ix) - 4.e^(-i.x) - 6.e^(-ix) + 4.e^(i.x)]/(32i)
sin^5(x) = [e^(5i.x) - e(-5.i.x) + 5.e(-3.i.x) - 5.e^(3i.x) - 10.e^(-ix) + 10.e^(i.x)]/(32i)
sin^5(x) = [e^(5i.x) - e(-5.i.x) + 5.e(-3.i.x) - 5.e^(3i.x) - 10.e^(-ix) + 10.e^(i.x)]/(32i)
sin^5(x) = (1/16)[sin(5x) - 5.sin(3x) + 10.sin(x)]
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Sauf distraction. 
Merci par avance de me donner quelques indications pour la suite de l'exercice!
Encore merci!
1)
c)
Tout aussi immédiat.
f(x)=sin^5(x)
f(x)=sin(x).(sin²(x))²
f(x)=sin(x).(1-cos²(x))²
f(x)=sin(x).(1-2cos²(x)+cos^4(x))
F(0) = 0 --> -1 + (2/3) - (1/5) + K = 0
K = 8/15.
Et on retrouve bien le résultat du b.
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Sauf distraction.
Pourriez vous m'apporter un peu d'aide pour les exos 2 et 3 que je n'arrive pas à résoudre svp?
Merci beaucoup par avance!
3.
sin(5x) = 0
--> 5x = k.Pi
x = k.(Pi/5) avec k dans Z.
Dans ]-Pi ; Pi], les solutions sont -4Pi/5 ; -3Pi/5 ; -2Pi/5 ; -Pi/5 ; 0 ; Pi/5 ; 2Pi/5 ; 3Pi/5 ; 4Pi/5 ; Pi
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sin(5x) = sin(3x+2x) = sin(3x).cos(2x) + cos(3x).sin(2x)
sin(5x) = (3sin(x)-4sin³(x)).(1-2sin²(x)) + (4cos^3(x)-3cos(x)).2.sin(x).cos(x)
sin(5x) = 3sin(x)-4sin³(x)-6sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x).cos^4(x) - 6cos²(x).sin(x)
sin(5x) = 3sin(x)-4sin³(x)-6sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x).cos^4(x) - 6(1-sin²(x)).sin(x)
sin(5x) = 3sin(x)-4sin³(x)-6sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x).cos^4(x) - 6.sin(x) + 6.sin³(x)
sin(5x) = -3sin(x)-4sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x).(1-sin²(x))²
sin(5x) = -3sin(x)-4sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x).(1-2sin²(x) +sin^4(x))
sin(5x) = -3sin(x)-4sin³(x)+8.sin^5(x) + 8.sin(x)-16.sin³(x) +8.sin^5(x)
sin(5x) = 16.sin^5(x) - 20.sin³(x) + 5.sin(x)
P(X) = 16.X^5 - 20.X³ + 5X
P(sin(x)) = sin(5x) = f(x)
---
Q(x)=16X^5 - 20X^3 + 5X.
Une racine évidente est X = 0
Q(X) = X.(16X^4 - 20X² + 5)
Recherche des solutions de 16X^4 - 20X² + 5 = 0
Poser X² = Y
16Y² - 20Y + 5 = 0
Y = [10 +/- V(100-80)]/16 (Avec V pour racine carrée).
Y = [10 +/- V(20)]/16
Y = (10 +/- 2V5)/16
Y = (5 +/- V5)/8
X² = (5 +/- V5)/8
X = +/- (1/2).V[(5 +/- V5)/2]
E' = {- (1/2).V[(5 + V5)/2] ; - (1/2).V[(5 - V5)/2] ; 0 ; (1/2).V[(5 - V5)/2] ; (1/2).V[(5 + V5)/2] }
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sin(Pi/5) est un des élément de E'.
Comme Pi/5 est dans le premier quadrant, son sinus est > 0.
Sin est croissant sur [0 ; Pi/2] --> sin(Pi/5) < sin(Pi/4)
sin(pi/5) < 1/V2
sin(Pi/5) < 0,707...
Or (1/2).V[(5 + V5)/2 > 0,707... et donc (1/2).V[(5 + V5)/2 n'est pas le sin(Pi/5).
--> sin(Pi/5) = (1/2).V[(5 - V5)/2]
A la calculette: (1/2).V[(5 - V5)/2] = 0,587785...
et sin(Pi/5) = 0,587785...
C'est OK.
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Sauf distraction.
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