Niveau première

besoin d aide pour un exo sur les limites

Posté par caro (invité) 13-11-04 à 14:40

Salut à tous !

voilà je révise mon interro sur les limites, et je viens de faire les exos qu'il ya sur le site...mais je ne trouve pas les réponses à ces questions :

calculer: lim f(x)= (x²+x)-3x
          x+
Donc,j'ai tout d'abord trouvé une forme indéterminée puis j'ai multitplié par la forme conjuguée en haut en bas ce qui fait qu'après simplification, je "tombe" sur :
          (x²+x-9x²)/(x²+x)+3x
puis :   (-8x²+x)/(x²(1+(1/x))+3x
puis :   x(-8x +1)/x((1+(1/x))+3)
ainsi après simplification, on obtient :
          (-8x+1)/ ( (1+(1/x))+3)
Mais...que dire ensuite ?!! car si je calcule je retombe sur une forme indéterminée...  je ne sais donc pas continuer...  Ai-je fait fausse-route ???!
Aidez moi svp !
Merci d'avance!

Posté par Emma (invité)re : besoin d aide pour un exo sur les limites 13-11-04 à 14:44

Salut caro

Pourquoi ne pas factoriser par x :

$\sqrt{x^2+x} - 3.x$ = $\sqrt{x^2.(1+\frac{1}{x})} - 3.x$

$\sqrt{x^2+x} - 3.x$ = $x.\sqrt{1+\frac{1}{x}} - 3.x$

$\sqrt{x^2+x} - 3.x$ = $x$ . $[\sqrt{1+\frac{1}{x}} - 3]$

Posté par re : besoin d aide pour un exo sur les limites 13-11-04 à 14:50

Bonjour

Non tu n'a pas fait fausse-route , tu étais sur la bonne voie .

sauf qu'au numérateur , tu n'as pas factoriser par le terme du plus haut degré : x² . Tu as factorisé par x

Je reprend donc :

$f(x)=\sqrt{x^2+x}-3x$
$f(x)=\frac{x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{x^2+x}+3x}$ ( je te fais confiance pour les calculs menant à cette étape )
$f(x)=\frac{-8x^{2}+x}{\sqrt{x^2+x}+3x}$

Occupons nous du dénominateur :
$\sqrt{x^2+x}+3x=\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x})}+3x$
$\sqrt{x^2+x}+3x=\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3x$
$\sqrt{x^2+x}+3x=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3x$

Au voisinage de +oo , $|x|\sim x$ donc :
$\sqrt{x^2+x}+3x=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3x$
$\sqrt{x^2+x}+3x=x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3)$

On en déduit :
$f(x)=\frac{-8x^{2}+x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3)}$
On factorise au numérateur par x² :
$f(x)=\frac{x^{2}(-8+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3)}$
$f(x)=x(\frac{-8+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+3})$

$\lim_{x\to +\infty} -8+\frac{1}{x}=-8$
$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}}+3=4$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{-8+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=-2$

donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$

Posté par re : besoin d aide pour un exo sur les limites 13-11-04 à 14:51

oups

Effectivement emma , ton raisonnement est mieux que le mien

Enfin , pour ma défense , j'ai suivis son raisonnement pour lui montrer l'erreur

Posté par Emma (invité)re : besoin d aide pour un exo sur les limites 13-11-04 à 15:05

C'était la réponse attendue par caro !
Tu as été plus courageux que moi, Nightmare, c'est tout

Posté par caro (invité)Merci beaucoup !!! 13-11-04 à 15:31

Merci à tous les deux !!! et ...pas de jaloux, vous m'avez tous deux bien aidés !!!

Posté par re : besoin d aide pour un exo sur les limites 13-11-04 à 15:35

Lol , attention Emma , il y a le courage et l'inutilité !! moi je crois qu'aprés ton post , j'ai plus plongé dans l'inutilitée qu'autre chose

Pas de probléme caro , n'hésite pas si tu n'as pas compris un point des réponses

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