Y a un problème car la défintion de ta suite donne une suite constante : u1 = 0/rq(0²+1) = 0 !

Il y a un pb

En effet je me suis trompée
U0 = 1

Merci à toi d'avoir été si rapide

Il y a un pb

1°) Par récurrence (évidente)
-----------------------------
U0>0, on suppose Un>0 alors
Rq(Un²+1)>1 donc son inverse est strictement compris entre 0 et 1.
On multiplie cet encardement par Un (qui est >0) et on obient 0<Un+1<Un.
Conclusion : Pour tout n, Un>0 et en plus, on a démontré la DECROISSANCE de la suite.

3°) D'après les questions 1 et 2 : (Un) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.

4°) U1 = 1/Rq(2)
U2 = 1/Rq(3)
U3 = 1/Rq(4) = 1/2
U4 = 1/Rq(5)
U5 = 1/Rq(6)
On peut conjecturer que Un = 1/Rq(n+1)
Démonstration :
U0 = 1/Rq(0+1) vrai
On suppose que Un = 1/Rq(n+1)
Un+1 = 1/Rq(n+1) sur Rq(1/(n+1)+1)
     = 1/Rq(n+1) sur Rq((n+2)/(n+1))
     = 1/Rq(n+2)
Voilà, pour tout n, Un = 1/Rq(n+1)

5°) Puisque Un = 1/Rq(n+1) et que Rq(n+1) tend vers +infini quand n tend vers +infini alors Un tend vers 0.

je viens de corrigé l'erreur que j'avais faite
tu trouves qu'il y a encore une erreur ?

La suite est DECROISSANTE

J'étais en train de rédiger une réponse similaire basée sur une récurrence assez triviale.
L'erreur étais dans l'énoncée la suite est décroissante.

Bosses bien les récurrences c'est un point essentiel que tu retrouveras forcemment dans le supérieur. Une grande partie des preuves en math se font par recurrence.....

Je suis beaucoup mieux maintenant, tout parait si simple quand c'est vous qui expliquez c'est vraiment trop gentil !! Encore merci

Y a juste un truc que je comprends pas trop :
>Un+1 = 1/Rq(n+1) sur Rq(1/(n+1)+1)
     = 1/Rq(n+1) sur Rq((n+2)/(n+1))
     = 1/Rq(n+2)
Voilà, pour tout n, Un = 1/Rq(n+1)

Je ne comprends pas comment tu passes de l'un a l'autre et pourquoi tu mets "sur Rq" qu'est ce que cela signifie ?

Encore quelque chose, je n'osai pas le demander au début car ça pourrait vous paraitre "abusé" de ma part mais j'ai un autre exercices encore plus dur que celui la et je bloque aussi dessus.
Je voudrais savoir si ça vous dirait de m'éclairer la dessus ou bien non ?

Meme si la reponse est negative, je vous suis tres tres reconnaissante pour tout ce que vous m'avait déja expliqué.

     1                 1
  -------         -------
  Rq(n+1)        Rq(n+1)       1
------------ = --------- = -------  en multipliant par Rq(n+1) au numer. et au dénom.
     n+2          Rq(n+2)     Rq(n+2)
Rq(-----)        ------
     n+1          Rq(n+1)


C'est OK pour le 2ème exo mais demain...

Merci pour les explications, je n'y avais pas du tout pensé, je comprends bcp mieux.

Voici l'énoncé de ce fameux exercice super dur :

La suite Un est definie par U0 = 1 et pr tout n entier
Un+1 = (3Un+9)/2Un

1. Prouver que Un+1 -3 et Un-3 sont de signes contraires.

2. Démontrer que pour tout n,
U2n < ou = 3 < ou = U2n+1 et en deduire que si Un converge sa limite est 3. (J'espere que tu as compris l'inégalité, il faut lire U indice 2n inférieur ou égal à 3 inférieur ou égal à 2 indice n+1)

3. Démontrer que pour tout n> ou = 1, Un> ou = 2
En déduire que pour tout n,
Vabs(Un+1 -3)<ou= 3/4*Vabs(Un-3) (Je precise qu'ici 3 n'est pas en indice et que Vabs correspond à valeur absolue bien que tu l'avais surement compris)

4. Démontrer qu'alors pour tout n, Vabs(Un-3)<ou=2*(3/4)^n
En déduire la convergence de la suite Un.

Voila, je ne sais vraiment pas quoi te dire de plus que MERCI. Tu es mon sauveur, ce devoir est à faire pour lundi et comme tu le vois je m'y prends à la dernière minute, ce n'est pas du tout de la fénéantise mais j'ai vraiment trop de pb en ce moment et puis il y a les autres matières à regler mais je suppose que tu es aussi passé par là.
A ce propos, si quelqu'un aurait des conseils à me donner sur les méthodes efficaces qui "aident" à bien travailler, elles seront les bienvenues car d'apres mes profs et mes nuits blanches à plancher mes cours, je n'ai pas les mailleurs méthodes)

Encore merci !!

Je renouvelle la demande car je n'avance pas depuis hier.

Je suis vraiment bloquée, votre aide m'est précieuse.

Merci

Déjà (Un) est positive (évident)

Un+1 - 3 = -3(Un - 3)/(2Un) il suffit de l'écrire et de mettre au même dénom. Donc :
(Un+1 - 3)/(Un - 3) = -3/(2Un) qui est négatif, les deux nombres sont bien de signes contraires. (règle des signes du quotient)

On démontre que U2n =< 3 par récurrence :
Uo=1 =<3 vrai
On suppose U2n =< 3 alors :
U2n+2 = (9U2n + 9)/(2U2n + 6)
On étudie la fonction f: x|->(9x+9)/(2x+6) sur R+
f' est toujours > 0 donc f est strictement croissante sur R+.
L'image de [0;3] est donc [f(0);f(3)]=[3/2;3], ainsi :
U2n+2 = f(U2n) =< 3 car U2n appartient à [0;3].
Conclusion : U2n =< 3, pour tout n

On fait pareil, avec la même fonction, sur l'intervalle [3;+inf[ pour U2n+1. (aussi par récurrence)
Conclusion : U2n =< 3 =< U2n+1, pour tout n.

Maintenant si on suppose (Un) convergente, alors (U2n) et (U2n+1) convergent aussi vers la même limite L et d'après l'encadrement ci-dessus, on aurait :
L =< 3 =< L ce qui implique que L = 3.

On montre par récurrence que Un >= 2 pour n>=1, en fait il suffit de montrer que U2n >= 2 pour tout n>=1 car d'après l'encadrement ci-dessus on sait déjà que U2n+1 >= 2 puisque >= 3.
On montre que U2n >= 2 pour tout n>=1 en faisant une récurrence et en utilisant encore la fonction f sur l'intervalle [2;3] qui a pour image [2,7 ; 3] donc U2n+2 est bien supérieur ou égal à 2.
Conclusion : Un >= 2 pour tout n>=1.

Vabs( (Un+1 - 3)/(Un - 3) ) = Vabs ( -3/(2Un) ) d'après la première question, or Vabs ( -3/(2Un) ) = 3/(2Un) puisque Un>=0 mais 3/(2Un) =< 3/4 car Un>=2 pour n>=1
Conclusion : Pour n>=1, Vabs(Un+1 - 3) =< 3/4*Vabs(Un - 3)

On utilise cette formule n-1 fois donc : Vabs(Un - 3) =< (3/4)^(n-1)*Vabs(U1 - 3) = 2*(3/4)^(n-1)
Attention, c'est faux de dire que l'exposant est n, car la formule ne marche pas pour n=0.

2*(3/4)^(n-1) tend vers 0 quand n tend vers +infini car 3/4<1. Donc (Un) converge vers 3.

Merci Infiniment !!

Roberthue, je vais encore te saouler avec cet exo mais y a un truc que je comprends pas
Comment tu trouves ca :
On suppose U2n =< 3 alors :
U2n+2 = (9U2n + 9)/(2U2n + 6)
??

Et puis autre chose encore, n'y aurait il pas une autre méthode pour faire cette récurrence (sans utiliser la dérivé car en cours nous ne faisont pas comme ça).
Est qu'il est possible d'encadrer tout simplement
U2n+1 <ou= 3
??
Ou qque chose comme ca

Merci

Je reviens pour remercier encore et toujours les bénévoles qui prennent le temps de nous aider.
Vraiment merci (en particulier à toi Roberthue)