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Besoin d aide sur de la Recurrence... Merci

Posté par korben (invité) 23-02-05 à 16:06

Bonjour tout le monde!

J'aurai besoin de votre aide pour cet exercice s'il vous plait.

Merci d'avance.

------------

A quoi est égal

\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2002^2}+\frac{1}{2003^2}}

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible et on le justifiera.

Posté par dolphie (invité)re : Besoin d aide sur de la Recurrence... Merci 23-02-05 à 17:53

Bonjour,

commençons par faire qq remarques:

1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}=\frac{9}{4}
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{49}{36}
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{169}{144}
ainsi:
\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} = \frac{3}{2}+\frac{7}{6}+\frac{13}{12}

Maintenant à toi de démontrer que pour un entier k quelconque:
\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=\frac{k(k+1)+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k(k+1)}

ensuite....

Tu sommes pour k variant de 1 à 2002:
\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2002^2}+\frac{1}{2003^2}}=\sum_{k=1}^{2002}(1+\frac{1}{k(k+1)}

\sum_{k=1}^{2002}1=2002
\sum_{k=1}^{2002}(\frac{1}{k(k+1)}=....

à toi de continuer sur cette voie, tu y es presque!




Posté par dolphie (invité)re : Besoin d aide sur de la Recurrence... Merci 23-02-05 à 18:01

Il te suffit alors de remarquer que \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

et alors
\sum_{k=1}^{2002} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}=1-\frac{1}{2003}=\frac{2002}{2003}

tu en déduis alors la somme cherchée:
S = 2002+\frac{2002}{2003}

Posté par korben (invité)Merci! 24-02-05 à 16:51

Ok je te remercie beaucoup, je pense avoir saisie ton raisonnement.

Je vais le retravailler pour bien l'assimiler.

Merci beaucoup!


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