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besoin d aide sur ETUDE SUR FONCTION en 1ereS *
bonjour, j'ai un devoir que j'ai fais en grande partie,
mais il y a quelques question que je n'arrive pas à faire (et
pour le reste je voudrai vérifier car je ne suis pas torp sur). Merci
d'avances
Le plan est muni d'un repere orthonormal (O,i,j), l'unité étant le centimètre.
Soit f la fonction définie sur R-{1} par f(x)= (x²+3)/(x-1) et soit (C)
sa courbe représentative dans le repère donné.
1) Calculer trois réels a,b,c tels que, pour tout réel x de R-{1}, f(x)
s'ecrit : (ax+b) + c/(x-1)
2) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
En faire une interprétation graphique
3) Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le ttableau de variation
de f.
4) Soit (D) la droite déquation y=x+1. Démontrer que (D) est asymptote
à la courbe (C). En déduire la position de (C) par rapport à la droite
(D)
5) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point
A intersection de (C) avec l'axe des ordonnées. Ecrire l'equation
de (T')
6) Démontrer avec avoir fais la construction de la courbe, ses tangentes
et ses asymptotes que le point I(1 ;2) est le centre de symétrie
de la courbe (C)
Bonjour Mat 
- Question 1 -
Pour tout réel x de 
-{1},
(ax + b) + c/(x - 1)
= [(ax + b)(x - 1) + c]/(x - 1)
= (ax² - ax + bx - b + c)/(x - 1)
= (ax² + (b - a)x - b + c)/(x - 1)
Par identification, on obtient :
a = 1
b - a = 0
-b + c = 3
Donc :
a = 1
b = a = 1
c = 3 + b = 4
Pour tout réel x de -{1},
f(x) = x + 1 + 4/(x - 1)
- Question 2 -
- en -
:
f(x) = x + 1 + 4/(x - 1)
x + 1
-
4/(x - 1) 0
Donc : lim f(x) = -
quand x-
- en + :
f(x) = x + 1 + 4/(x - 1)
x + 1+
4/(x - 1) 0
Donc : lim f(x) = +
quand x+
- en 1 :
f(x) = (x² + 3)/(x - 1)
x² + 3 4
- en 1 - :
x - 1 0-
D'où : lim f(x) = -
quand x 1-
- en 1+ :
x - 1 0+
D'où : lim f(x) = +
quand x 1+
La droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe.
- Question 3 -
f est dérivable sur -{1} et :
f'(x) = (2x(x - 1) - (x² + 3))/(x - 1)²
= (2x² - 2x - x² - 3)/(x - 1)²
= (x² - 2x - 3)/(x - 1)²
Comme (x - 1)² > 0 sur -{1}, alors f'(x) est du signe
de (x² - 2x - 3).
[signe à étudier]
f'(x) 
0
sur ]-; -1]
[3; +[
et
f'(x) 
0
sur [-1; 1[]1; 3]
Donc :
f est croissante
sur ]-; -1][3; +[
et
f est décroissante
sur [-1; 1[]1; 3]
f(-1) = -2
f(3) = 6
- Question 4 -
f(x) - (x + 1)
= x + 1 + 4/(x - 1) - (x + 1)
= 4/(x - 1)
Et lim [f(x) - (x + 1)] = 0
x
La droite d'équation y = x + 1 est donc asymptote oblique à la
courbe représentative de f.
De plus,
4/(x - 1) >0 sur ]1; +[,
(C) est donc au-dessus de (D) sur ]1; +[
et
4/(x - 1) <0 sur ]-; 1[,
(C) est donc en-dessous de (D) sur ]-; 1[.
- Question 5 -
A a donc pour abscisse 0.
La tangente à la courbe (C) en A a pour équation :
y = f'(0)(x - 0) + f(0)
= -3x - 3
- Question 6 -
[f(1 - h) + f(1 + h)]/2 = 2
calculs à faire ...
I(1; 2) est donc le centre de symétrie de la courbe (C).
A toi de tout reprendre, bon courage ...
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