1. Pour construire le barycentre J du système {(B;3), (C,2)} :
3MB + 2MC = 5MJ, pour tout point M du plan, donc en particulier, pour
M = B, on a:
2BC = 5BJ, soit BJ = (2/5)BC.

Pour construire le barycentre K du systeme{(A,3);(C;2)} :
3MA + 2MC = 5MK, pour tout point M du plan, donc en particulier, pour
M = A, on a:
2AC = 5AK, soit AK = (2/5)AC.

2. JK = JB + BA + AK = (2/5)CB + BA + (2/5)AC = (2/5)CB + BA + (2/5)AB
+ (2/5)BC
= (-3/5)AB
Comme les vecteurs JK et AB sont colinéaires, alors les droites (JK) et
(AB) sont parallèles.

3. Comme 3 + 3 + 2 0, alors il existe un unique
point G tel que:
3GA+3GB+2GC=0

4. a) 3GA+3GB+2GC=0, donc : 3GA + 3GJ + 3JB + 2GJ + 2JC = 0
Or, 3JB + 2JC = 0 car J est le baryventre du systeme {(B,3);(C,2)}, donc
:
3GA + 3GJ + 2GJ = 0
3GA + 5GJ = 0
Les points G, A et J sont donc alignés.

b) 3GA+3GB+2GC=0, donc : 3GK + 3KA + 3GB + 2GK + 2KC = 0
Or, 3KA + 2KC = 0 car K est le barycentre du systeme {(A,3);(C;2)}, donc
:
3GK + 3GB + 2GK = 0
5GK + 3GB = 0
Les points B, G, K sont donc alignés.

c) 3GA+3GB+2GC=0, donc : 3GI + 3IA + 3GI + 3IB + 2GC = 0
Or, I étant le milieu de [AB], alors IA + IB = 0, ou encore 3IA + 3IB
= 0, donc :
3GI + 3GI + 2GC = 0
6GI + 2 GC = 0
Les points G, I C sont donc alignés.

Voilà les solutions !