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besoin d aide T S convergence
bonjour tt le monde !! il me faut de l'aide!!
On considère la suite u définie par Uo= 1 et la relation de récurrence Un+1 = 1/4 Un +3.
Sur la figure, on a représenté les droites D et delta d'équations respectives : y = 1/4 x + 3 et y = x ainsi que les premiers termes de la suite u.
1.Etudier le sens de variation de la suite u (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence ).
2. On introduit la suite v définie sur N par Vn = Un -4
a. Montrer que v est une suite géométrique convergente.
b. En détruire le comportement asympototique de la suite u.
c Déterminer le plus petit entier naturel n tel que la valeur absolu de Un - 4 inférieur ou égal a 10 exposant -4
4. On pose, pour n appartenant a N Sn = Uo + U1 + ... + Un
Exprimer Sn en fonction de n . La suite (Sn) converge-t-elle ? Et la suite (Sn/n) avec n appartenant a N privé de 0.
merci de vos réponses !
bon j'ai beaucoup de mal sur ce type de récurrences, donc je ne suis pas du tout sûre...
j'ai pris comme propriété que Un < 4 et que Un+1 
Un.
- pour n = 0 :
U0 < 4 et U1 = 1/4 +3
U1 > U0.
- soit n entier naturel. supposons que Un < 4 et que Un+1 Un, montrons la propriété pour n+1.
Un+1 = 1/4*Un +3
* comme Un < 4 par hypothèse de récurrence on a 1/4*Un < 1
et donc 1/4*Un +3 < 4 cad Un+1 < 4.
* Un = 1/4*Un +3/4*Un
Un = Un+1 -3 +3/4*Un
donc Un -Un+1 = 3/4*Un-3
or on a toujours Un < 4 donc 3/4*Un < 3 et 3/4*Un -3 < 0
donc Un -Un+1 < 0 cad Un+1 > Un
donc à forciori Un+1 Un.
pour la 2),
Vn+1 = Un+1 -4
= 1/4*Un +3 -4
= 1/4*Un -1
= 1/4*(Un -4)
Vn+1 = 1/4*Vn
suite géométrique avec |r| < 1 si r est la raison, donc qui converge vers 0.
je ne sais pas ce qu'est un comportement asymptotique, mais je sais que (Un) va converger vers 4 car (Un-4) converge vers 0 ; alors peut-être qu'on peut dire que (Un) admettra l' asymptote y = 4 en +oo...
4) Sn = Uo + U1 + ... + Un
Un = Vn +4
Un = V0*(1/4)^n +4 et V0 = U0 -4 = -3
donc Sn = V0 +4 +V0*(1/4) +4 +...+V0*(1/4)^n +4
Sn = V0*(1 +1/4 +...+(1/4)^n) +4*(n+1)
Sn = V0*[(1-(1/4)^n)/(1-1/4)] +4*(n+1)
car 1 +1/4 +...+(1/4)^n somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 1/4.
l'expression à l'intérieur des crochets tend vers 1/(1-1/4) ; lorsqu'on multiplie par V cela restera une constante.
or 4*(n+1) tend vers +oo lorsque n tend vers +oo, Sn tendra donc vers +oo, (Sn) ne converge pas.
si on divise par n :
V0*[(1-(1/4)^n)/(1-1/4)]/n tendra vers 0 ( constante divisée par +oo)
et 4*(n+1)/n tendra vers 4 ( mettre n en facteur en haut et en bas pour s'en rendre compte)
donc (Sn/n) converge vers 4.
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