Soit x > 0


0\le t \le t

donc
\forall t \in [0 ; x ] 0 \le t^2 \le tx

donc
\int_0^{x} 0 dt \le \int_0^{x} e^{t^{2}} dt \le \int_0^{x} e^{tx} dt

donc
0 \le \int_0^{x} e^{t^{2}} dt \le [\frac{1}{x}e^{tx}]_0^{x} dt

c'est à dire
0 \le \int_0^{x} e^{t^{2}} dt \le \frac{1}{x}(e^{x^{2}} - 1)

donc
0 \le \frac{\int_0^{x} e^{t^{2}} dt}{e^{x^{2}}} \le \frac{1}{x}(1-e^{-x^{2}}
)
car exp(x^2) >0

Or x est quelconque dans \mathbb{R}^{+*}
Donc \forall x \in \mathbb{R}^{+*},

0 \le \frac{\int_0^{x} e^{t^{2}} dt}{e^{x^{2}}} \le \frac{1}{x}(1-e^{-x^{2}}
)

De plus, \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}(1-e^{-x^{2}}) = 0

Donc, d'après le théorème des gendarmes, \int_0^{x} e^{t^{2}} dt \in o_{+\infty}(e^{x^{2}})


Voila, j'ai pas tres bien compris