bonsoir ,
comment tu peux avoir des résultats sans de démonstrations
(le fait de nous donner les résultats du livre nous sert moins que le fait de dire ce qui ne va pas)

ton problème réside dans le fait que tu dois remarquer que (si ma figure correspond à la tienne, vu que tu ne l'as expliquer: AB, AD et AE sont des arrêtes chez moi)




ensuite il faut que tu écrives en fonction de et
et en fonction de et

maintenant tu peux trouver se que l'on te demande

Je n'ai vraiment pas recopié dans le livre, cet exo n'est d'ailleurs pas corrigé dedans. J'ai vraiment trouver ce résultat, un peu à taton.
Ma figure est la même que la votre.
J'ai bien compris comment exprimer les vecteurs en fonction de u v et w, je l'ai écrit dans mon premier message. Seulement à partir de cela, je ne vois pas comment aboutir au résultat.
Que faut-il utiliser, un systeme d'équation? Je ne demande pas la démonstration complete mais juste une piste. merci

je t'ai tout écrit dans mon 1er message, il te suffit de traduir les différents vecteurs que tu as.
exemple pour le 1er:


après il te suffit de simplifier

regardez dans mon premier message. Je n'ai pas mi la fleche mais ce sont des vecteurs.
AM= v-(1/3)w
AN= (1/2)u+v
AP=u+v+(1/3)w

C'est seulement a partir de la que j'aimerais que vous m'indiquiez la piste à suivre.

Bonsoir,

Tu peux te contenter de VERIFIER que 2AN - AM = AP, mais c'est vrai que ce n'est pas satisfaisant de penser qu'on a pu trouver cette relation seulement par hasard

Pour trouver la relation, il faut effectivement résoudre un système. Il te faut trouver a et b tels que AP = aAM +bAN
En développant le second membre et en regroupant ce qui dépend de u, de v de w, tu peux identifier ce vecteurs au vecteur AP et dire que
les coefficient devant u doivent être égaux
les coefficient devant v aussi
les coefficients devant w aussi

cela te donne un système de trois équations et 2 inconnues. Deux des équations te permettent de trouver a et b. La troisième équation est alors une vérification.

...euh..., je vais peut-être exigent..mais pouvez vous repeter votre raisonnement?

Pour prouver que les vecteurs sont coplanaires, il suffit que tu trouves a et b tel que AP = aAM + bAN, n'est-ce pas?

aAM + bAN = a(v - (1/3)w) + b((1/2)u + v)
je développe et regroupe
aAM + bAN = (b/2)u + (a + b)v - (a/3)w
Or AP = u + v + (1/3)w

les deux vecteurs sont égaux dès que tu as
(b/2) = 1
a + b) = 1
(-a/3) = 1/3
tu vois bien que deux de ces équations te permettent de trouver a et b et la troisième est là en guise de vérification (si la troisième n'est pas vérifiée c'est que , ou bien tu as fait un erreur de calcul, ou bien  tes vecteurs ne sont pas coplanaires)
J'espère que c'est plus clair

Je vous remercie. Je n'avais pas penser qu'il fallait séparer l'équation en trois parties.
Bonne soirée