Bonjour

J'essaye pour la premiére :

Posons le couple tels que f(x;y)=(a;b) .

Cela signifique :

x+y=a
xy=b

<=>
x=a-y
(a-y)y=b

donc :
x=a-y
-y²+ay-b=0

Le discriminant de cette derniére équation est :


Donc suivant les paramétres a et b , est positif ou négatif , c'est a dire que :
tel que , l'équation n'a pas de solution donc le couple (a;b) n'a aucun antécédent

et :
tels que , l'équation admet deux solutions distincte .

Ce qui signifi qu'un couple (a;b) peut avoir 0 , 1 ou 2 antécédents . on en déduit que l'application est ni injective , ni surjective

euh, tu es sûr que tu as un niveau seconde ??? !!!

je suis abasourdi....

Qui moi ? vivi , j'aime juste beaucoup les maths

*Nightmare, le nouveau Euler* ^^

Juste pour savoir, ni surjective, ni injective, ça veut dire pas bijective ?
'Fin, en lisant la démo de Nightmare, c'est l'impression que ça me donne, mais là, je navigue en mers inconnues encore :/

[Je m'échauffe pour dans 5 jours ]

Etant donné que une des définitions de la bijectivité est :

une fonction est dite bijective si elle est surjective et injective .

Si elle n'est ni surjective ni injective , elle ne peut donc pas etre bijective

Bonjour,

Quelques suggestions...

Pour démontrer la non injectivité, un contre-exemple suffit.
Par exemple f(1;2)=f(2;1).

Pour démontrer la non surjectivité, un contre-exemple suffit.
Par exemple,(-1;1) n'a pas d'antécédent car z²+1z+1 =0 n'a pas de solution.

On a utilisé la propriété suivante (qui permet de répondre aussi a d'autres questions) :
x et y ont pour somme X et pour produit Y ssi x et y sont solutions de z²-Xz+Y=0.

g(X;Y)=((X-VD)/2;(X+VD)/2) aves D=X²-4Y.

Sauf étourderie

bonjour,
tout d'abord merci pour vos réponses,

dasson,le prof nous avait dit qu'on aurait besoin d'une propriété sur le produit et la somme de deux réel dc tu dois avoir raison... tu peut m'expliquer comment t'obtiens g(X,Y)=(X-((X²-4Y)))/2;(X+((X²-4Y)))
l'equation z²-Xz+Y a deux solutions; ce qui fait deux solutions pour x et deux solution pour y;
pourtant tu n'en prends qu'une?

une idée pour montrer f(A)B?
j'ai essayé de prendre (a,b)f(A). puis montrer que (a;b)B
mais j'y arrive pas!

pouvez-vous m'aidez encore svp?

Re bonjour Roxane

2) On veut montrer que

- Prenons un couple
Alors il existe tel que c'est a dire .
Or




ce qui est vrai tout le temps.
On a donc bien

Remarque: On ne s'est pas servi de ce qui n'est pas grave mais servira plus tard

3) En fait , on peut traduir l'énoncé en disant qu'on veut démontrer que f induit une bijection de A vers B

Il faut donc montrer que :

est bijective

Preuve:

-surjectivité (Il faut montrer f(A)=B) :

On a déja il manque pour obtenir l'égalité f(A)=B
Soit tel que

A la question 1) j'ai montré que si alors (a;b) posséde au moin 1 antécédent par f donc il existe un couple (x;y) tel que
or <=> ( en remplaçant a par x+y et b par xy)
<=> ou
Alors le couple (x;y) tel que convient comme antécédant par f .
donc d'ou f est surjective .

-injectivité:

On veut démontrer que tels que f[(x;y)]=f[(x';y')] alors (x;y)=(x';y') ( définition de l'injectivité)
Soit donc (x;y) et (x';y') deux couples de A tels que f[(x;y)]=f[(x';y')] c'est à dire :


élevons la premiere ligne au carré , multiplions la deuxiéme par 4 et soustrayons-les :
On obtient :
(x+y)²-4xy=(x'+y')²-4x'y'
donc
(x-y)²=(x'-y')² ( on développe et on refactorise , je te passe cette étape )

or et car se sont des couples de A :
On peut donc enlever les carrés car x->x² est bijective de dans
d'où x-y=x'-y'
or x+y=x'+y'
donc en soustrayant les deux lignes on obtient :
2x=2x' c'est a dire x=x'
puis y=y'
On a bien (x;y)=(x';y') on en déduit que f est injective

f est donc injective ET surjective de A dans B . on en déduit que f est bijective de A dans B

Voila

Bonjour,

La lettre z est utilisée pour éviter des confusions : l'ensemble des solutions de z²-Xz+Y=0 est {x;y} (ssi X²-4Y>=0).

2°
De l'équivalence déjà écrite, on déduit f(R²)=B.
De A inclus dans B, on déduit f(A) inclus dans B.

3°
g est surjective car g(A) est inclus dans B.
Pour l'injectivité, il suffit de démontrer que tout élément de B n'a qu'un seul antécédent.
Un exemple pour éclairer : (7;12)(élément de B puisque 7²-4*12>0) a-t-il un seul antécédent dans A?
L'ensemble des solutions de z²-7z+12=0  est {3;4}. Des deux couples à envisager (3;4) et (4;3), un seul appartient à A : (3;4).
Généralisation : tout élément (X0;Y0) de B (cad tel que X0²-4Y0>=0) a-t-il un seul antécédent dans A? Des deux couples à envisager, un seul appartient à A : ((X0-VD)/2;(X0+VD)/2).
Sauf étourderie...

PS : je n'avais pas lu la contribution de Nightmare

Etourderie
g(A)=B!

merci de votre aide (encore!) Dasson et Nightmare,

j'ai pas tout compris mais je vais lire vos réponses attentivement, et si vraiment je comprend pas,je réenverrai un msg.

merci!

re bonjour j'ai une petite question
pour trouver l'application réciproque il faut trouver les solutions de l'equation z²-Xz+Y=0
=X²-4Y0
si >0 on obtient les 2 sol z1 et z1 que tu donne Dasson
mais si =0 alor x=y=X/2
(X/2,X/2) est à rejeter comme solution?

Bonjour

Si tu cherches l'application réciproques de g , tu dois trouver l'application vérifant :



En posant le systéme :
X+Y=x
XY=y

X=x-Y
-Y²+xY-y=0

On en déduit :
;

Donc

bas alors là jsuis perdu
j'avais compris que x=(X-)/2 et y=(X+)/2 permette d'exprimer la fonction réciproque de g
g[sup][/sup]-1=(X-)/2);(X+)/2)

c'est pas ca?

Non car la en fait tu ne t'occupes que de l'équation :

-Y²+xY-y=0

en oubliant la premiere : X+Y=x

....

Rebonsoir Roxane,

Pas de pb pour =0 : rien à rejeter.
Je n'ai pas suivi les développements de Nightmare.

Lol bon si tout le monde est contre moi

Pourtant j'ai vérifié et ma réciproque est bonne ....

ok dac merci