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Best of lim et equation de sin, cos et tan ^^
Bonjour tous,
j'ai eu pas mal d'exos pendant les vacances à faire et quelqu'uns sur les cos et autres bebetes dans le genre.
J'en ai résolu la plupart en me servant de 4 relations
(1) sin²x+cos²x = 1
(2) cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
(3) sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a
(4) lim x
0 sinx/x = 1
Et j'ai beau les tourner dans tout les sens il y en a 5 que je n'arrive pas à résoudre.
n°1 :
2cos (2x) + 2(rac3 - 1) cos x + 2 - rac3 < 0 avec x
]-pi;pi] ( rac3 est la racine de 3 )
Je l'ai transformé sous forme de polynome du second degré en posant X=cos x mais je me retrouve à la fin avec X1 < cos x < X2 avec
X1= [(1-rac3)+rac(3+2rac3)] 4
X2= [(1-rac3)-rac(3+2rac3)] 4 et je ne vois pas comment résoudre sa 
n°2 :
sin x = sin (4x)
sa à l'air tout bète mais en le modifiant avec le (3) sa ne me donne rien...
n°3 :
tan (3x)= 1/tan(2x+pi/3)
bon tan x = sin x/cos x jusque là sa va, j'ai essayé de tout "développer avec (2) et (3) sa me donne une expression de 3km qui ne se simplifie pas du tout
n°4 :
On passe aux limites : lim(x1) (1-x²) tan (pi x/2)
Pas grand chose à dire... a par que je ne doit vraiment pas aimer les tangentes...
n°5:
Et mon pti dernier : lim(xpi/2) x tant x - pi/(2 cos x)
Je l'ai transformé mais au final sa me donne toujours une forme indeterminée.
Voila merci d'avance à ceux qui auront le temps de m'aider, il y à peux de chance qu'on m'interroge là dessus vu le nombre d'exos mais il y a aussi peux de chances qu'ils soient corrigés donc j'aimerais quand même bien savoir comment les résoudre ^^.
Bonjour,
Pour le 2°
sin a -sin b=2cos((a+b)/2) . sin ((a-b)/2)
=>
0=sin 4x -sin x=2 cos(5x/2).sin(3x/2)
...
Merci bien. J'ai vainement tenté de voire d'où venait la relation mais je pense qu'il vaut mieux l'apprendre par coeur ^^.
Bon plus que 4 
quelqu'un a une idée ?
1) 2cos2x+2(rac3-1)cosx+2-rac3=4(cosx)^2+2(rac3-1)cosx-rac3=(2cosx-1)(2cosx+rac3) dont les zéros sont cosx=1/2 et cos x=-rac3/2 soit x=+/-pi/3 et x =+/-5pi/6
3) tan3x= 1/tan(2x+pi/3) comme 1/tanu=cotanu=tan(pi/2-u)
tan3x= tan(-2x+pi/6) donc 3x=-2x+pi/6+kpi ; x=pi/30 +kpi/5
4) lim(x tend vers 1): (1-x²) tan (pi x/2) ; pi x/2=pi/2-(1-x)/2 ; tan (pi x/2)=1/tan ((1-x)/2) ; quand x tend vers 1, tan ((1-x)/2) est équivalent à (1-x)/2 et comme (1-x²) =(1+x)(1-x) la limite cherchée est 4
5) il doit y avoir unre faute de frappe, mais je n'ai pas réussi à retrouver laquelle...
5) si c'est simplement: y=x tanx -pi/(2cosx) alors y=(xsinx-pi/2)/cosx
posons x=pi/2-h y=((pi/2)(cosh-1)-hcosh)/sinh ; cosh-1 est de l'ordre de h² donc la limite de y est la même que celle de -hcosh/sinh soit -1
Merci beaucoup pour tes explications détaillées piepalm
Par contre il y a une chose que je n'ai pas bien comprise. Pour la 4) tu dit que pi x/2 = pi/2-(1-x)/2 je doit avoir mal compris parceque si on prend par exemple x=0 sa donne 0= pi/2-1/2 non ?
pardon, j'ai perdu un pi en route ; lire
pi x/2=pi/2-pi(1-x)/2 ; tan (pi x/2)=1/tan (pi(1-x)/2) ; quand x tend vers 1, tan (pi(1-x)/2) est équivalent à pi(1-x)/2 et comme (1-x²) =(1+x)(1-x) la limite cherchée est 4/pi
Ok merci encore !
Je ne connaissais pas et je n'avais pas trouvé la relation tan(pi/2-x)=1/tan x qui est bien pratique dans ces cas ^^
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