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Bijection
Ramanujan
Bonsoir,
Soit un ensemble et
.
Montrer que l'application est une bijection de
sur
.
L'indication est : on pourra exhiber l'application réciproque.
Pour la trouver, d'après mon cours sur les bijections, je dois prendre un élément de soit une application de
dans
et résoudre :
d'inconnue
. Je cherche donc l'ensemble
vérifiant l'équation
. Sauf que je ne vois pas comment m'y prendre
Bonjour Ramanujan.
Effectivement, tu peux exhiber l'application réciproque :
Soit .
Alors tu peux poser .
Vérifie que l'application est bien définie et est réciproque de l'application
.
Bonjour
Aussi je ne comprends pas pourquoi
Comment sais-tu reconnaître qu'un objet est un ensemble ou pas ?
Soit une application de
dans
On a
Mais je ne comprends pas comment trouver en fonction de
à partir de cette équation...
Oui donc tu n'as pas compris ce qu'était cette fonction. Y a rien de sorcier, si tu comprends ce qu'est une fonction caractéristique ça prend une ligne.
Tu prends f une fonction de E dans {0,1} et si tu notes A l'ensemble des x tels que f(x) = 1, alors f = 1A
Bonjour
Aussi je ne comprends pas pourquoi
Comment sais-tu reconnaître qu'un objet est un ensemble ou pas ?
Non je n'ai pas vu cette notion.
Si j'ai compris ce qu'est cette fonction mais je ne vois pas comment trouver en fonction de
tel que :
La fonction caractéristique est une application d'un ensemble
à valeurs dans
qui vaut
si
est dans
et
si
est dans le complémentaire de
Et donc réciproquement si f est une application qui prend les valeurs 0 ou 1 tu peux pas construire un ensemble simple tel que f=1A ??
Aussi je ne comprends pas pourquoi
Tu as répondu en définissant "fonction caractéristique" mais tu n'as pas répondu à la question : qu'est-ce qu'une fonction ? (ou si tu préfères qu'est-ce qu'une application ?)
bonjour
c'est incroyable de raconter des trucs comme ça sans comprendre ce qu'on dit !
La fonction caractéristique
avec ça tu ne vois pas comment fabriquer A à partir de f, lorsque f ne prend que les valeurs 0 et 1 ?
@Luzak
Une application ou fonction est un triplet
où
est le graphe de
vers
tel que pour tout
, il existe un unique
tel que
.
@Lafol et @ Lionel
En faisant un dessin, et en testant pour et
, je trouve en notant
l'application réciproque qu'il faut prendre
Notons : et
Montrons que
D'où : Ainsi on a montré que :
Montrons à présent que :
Soit
Je bloque à ce stade
C'est comme d'habitude ! pour identifier une fonction, on cherche ce qu'elle associe à chaque élément de son ensemble de départ !
la dernière égalité est une énormité
u(v(f)) est une fonction, pas un nombre !
pour vérifier que u(v(f)) = f il suffit de vérifier que pour tout x de E, u(v(f))(x) = f(x), comme d'habitude
et tu as deux cas à considérer : soit f(x) vaut 0, soit f(x) vaut 1 (puisque f est à valeurs dans {0;1} il n'y a pas d'autre possibilité)
D'accord merci.
Montrons que par disjonction de cas.
1er cas :
La fonction nulle n'a pas d'image réciproque par le singleton donc :
Si alors
car "
" est une assertion fausse.
2ème cas :
L'image réciproque de la fonction constante égale à 1 par le singleton vaut
tout entier.
Si alors
On a montré
Salut
Voici une proposition
Surjectivité :
Soit
Injectivité :
Soient
Je n'ai pas compris votre raisonnement.
c'est une proposition je ne garanti pas que mon raisonnement est exact.
Puisque l'on veut montrer que est une bijection, j'ai montré que
est injective et surjective.
D'accord merci.
Montrons que
1er cas :
La fonction nulle n'a pas d'image réciproque par le singleton
la phrase en rouge ne veut strictement rien dire ....
Si
n'importe quoi ! u(v(0)) n'a aucun sens ! 0 est un nombre, alors que l'argument de uov doit être une fonction !
mêmes âneries pour le deuxième cas
Bah non je parlais de la fonction nulle. Comment voulez vous l'écrire à part ?
Pareil quand j'écris le 1 désigne la fonction constante égale à 1.
Comment l'écrire alors ?
c'est encore plus faux, si c'est possible, dans ce cas ...
reprenons, tu en étais là :
et tu devais montrer que c'est égal à f
il faut donc que tu calcules
C'est archi faux ! Ce n'est pas parce que pour CE x, f(x) vaut 0 ou 1 que f est la fonction nulle ou constante égale à 1 !
@Lafol
Je ne comprends pas votre remarque ni pourquoi j'aurais faux. Pourquoi vous parlez de CE, il n'y a pas de complémentaire dans cette démo 
Ce, mot de la langue française, démonstratif, mis en capitales pour insister sur le fait qu'on parle de CELUI CI et pas des autres
Ah je pense comprendre le problème, ne vaut pas 0 ou 1 forcément pour tout
.
Comment contourner ce problème alors ?
@ Ramanujan
Je crois que tu aurais moins de problème s'il tu voulais bien réfléchir aux différents ensembles qui interviennent :
Je note et
l'ensemble des applications de
dans
.
Lorsque
l'expression
. désigne un élément de
. est un élément de
. est élément de
. est élément de
. n'ont aucun sens .
Il est donc indispensable de bien écrire toutes les parenthèses !
Ok merci Luzak pour ces précisions, je n'avais pas compris en effet.
Mais par contre dans mon cours il est écrit
Alors pourquoi ici est différent de
?
Jcomprends pas pourquoi on se complique la vie à montrer que v est la réciproque. Les notations sont horribles et Ramanujan semmele les pinceaux.
Le plus simple c'est de montrer simplement la bijectivité
Injectivité : Si 1A = 1B alors...
Surjectivité : Soit f application de E dans {0,1}
1. C'est lui qui a choisi cette voie !
2. S'il "s'emmêle les pinceaux" c'est une bonne chose de l'aider à les démêler !
3. Si on continue avec ce que tu proposes tu es bien obligé de définir un antécédent pour , lequel se nommerait
et on retombe sur des pinceaux emmêlés !
J'ai ajouté des parenthèses pour que ce soit sans équivoque.
Si
Alors si
Mais ensuite je ne vois pas...
Certain l'utilise, mais en théorie ce n'est pas correct (voir même aucun sens quand f n'est pas bijective).
Si cette notation désigne l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée, il est donc normal de mettre des accolades.
Sinon elle désigne l'image du nombre 1 par l'application f-1 si celle-ci est bijective.
Ah je crois avoir enfin compris !
Si
Si
ooooouuuuuufffffff ! enfin !
Certain l'utilise, mais en théorie ce n'est pas correct (voir même aucun sens quand f n'est pas bijective).
Si cette notation désigne l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée, il est donc normal de mettre des accolades.
Sinon elle désigne l'image du nombre 1 par l'application f-1 si celle-ci est bijective.
Ok merci ici on parlait d'image réciproque donc bien un ensemble.
Oui mais on fait souvent cet abus de notation, en particulier quand on écrit, pour un morphisme, .
Avec un peu d'attention ce n'est pas bien dangereux.
Bonsoir,
je trouve que les notations usuelles sont vraiment mauvaises.
Mais je ne saurais pas proposer mieux.
Quand on donne une application f d'un ensemble E dans un ensemble F on a aussitôt :
-- une application de P(E) dans P(F), que l'on note aussi f, définie par
A
P(E) f(A)={f(x) | xA}
-- une application de P(F) dans P(E), que l'on note f-1, définie par
BP(F) f-1(B)={xE | f(x)B}
Il est clair que fof-1 n'est pas l'identité en général.
Ce qui est malheureux.
Bien sur, en tenant compte du contexte, il n'y a en général pas d'ambiguïté.
Mais je trouve quand même que c'est gênant.
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