salut

injectivité :


factoriser chaque membre puis tout mettre dans un même membre et finir la factorisation ...

surjectivité :

Nunusse @ 18-09-2021 à 18:19

Pour f surjective, on cherche un y tel que y=f(x)
soit:
y=ln(x²-2x+3)e^y-3=x²-2x

Là aussi je bloque, je n'arrive pas à exprimer x en fonction de y.

Bonjour Nunusse,

un détail, pour l'injectivité, une implication suffit, l'autre sens est évident : il faut que tu démontre que :
si f(x) = f(x'), alors x = x'.

Fais tout passer dans le même membre, factorise la différence de deux carrés puis factorise au maximum.

Pour la surjectivité, tu dois démontrer que tout y réel est atteint, donc tu pars d'un y quelconque dans R, fixé, et tu cherches un x tel que f(x) = y. Ce n'est pas ce que tu as essayé. Bon courage !

Amicalement,
--
Mateo.

Je te laisse continuer carpediem, on a répondu en même temps

Pour l'injectivité je suis arrivée à:
(x-x')(x+x')=2(x-x')2=x+x'x'=2-x
ce qui n'est pas ce que je dois trouver

Pour la surjectivité, je n'ai pas compris votre point de vue

Je réponds juste à la question et je laisse carpediem continuer.

Une fonction est surjective si tout nombre de l'ensemble d'arrivée a un antécédent dans l'ensemble de départ.

On part d'un y quelconque de l'ensemble d'arrivée et on cherche de quel x de l'ensemble de départ il provient.

Mateo_13  tu peux poursuivre car j'interviendrai en pointillé ... en particulier lorsque je verrai des horreurs donc des erreurs !!

Nunusse @ 18-09-2021 à 18:47

Pour l'injectivité je suis arrivée à:
(x - x')(x + x') = 2(x - x') 2 = x + x' x' = 2 - x

Bonjour, j'ai ressayé de montrer que f est injective, j'obtiens:
ln(x²-2x+3)=ln(x'²-2x+3) x²-2x=x'²-2x' x(x-2)=x'(x'-2)
Si x(x-2)=x'(x'-2), alors
x=x' ou x-2=x'-2
donc x=x'
f est injective, vous confirmez ?

Pour la surjection,  je sais que f est surjective siy [ln2 ; + ∞[, l'équation y=f(x) admet au moins une solution dans l'ensemble  [1;+∞[
Je dois donc résoudre l'équation ln(x² 2x 3)=y
et ainsi exprimer x en fonction de y pour également obtenir f^-1.

bonjour
et d'où tu sors que si deux produits ab et a'b' sont égaux, alors a=a' et b=b' ?

que penses-tu de x(x-2) et x'(x'-2) si par exemple x = 4 et x' = -2 ?

ah oui... Donc je retombe dans la case départ.

relis attentivement ce que Carpediem, qui est d'excellent conseil, t'a déjà indiqué
le mantra du collège à propos de produit nul, tu te souviens ?

Oui, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, je mets tout du même coté, j'obtiens:
x²-2x=x'²-2x' x²-2x-x'²+2x'=0(x-x')((x+x')-2)=0
ce qui veut dire que soit x-x'=0x=x'
ou( x+x')-2=0
Je pense que c'est bon mais le second facteur me pose problème...

merci lafol

je t'invite donc à relire le msg de lafol qui est d'excellent conseil  en t'indiquant que j'étais d'excellent conseil ...

je n'ai pas compris

Je suis désolée mais je suis toujours dans l'incompréhension

Je pense que pour l'injection de f c'est bon.
Cependant pour la surjection je suis toujours bloquée dans e^y-3=x²-2x

non toujours pas !!

Ah bon, mais j'ai montré que x=x'

non !!!

Nunusse @ 19-09-2021 à 16:49

x²-2x=x'²-2x' x²-2x-x'²+2x'=0(x-x')((x+x')-2)=0
<=> x - x' = 0 ou x + x' - 2 = 0 <=> x = x' ou x + x' - 2 = 0 et que fais-tu de ce cas ?

ce qui veut dire que soit x-x'=0x=x'
ou( x+x')-2=0
Je pense que c'est bon mais le second facteur me pose problème...

Justement, je ne sais pas...

Pour x=2-x':
or x et x' sont >1
prenons x'=1,1
2-x'=2-1,1=0,9 or x ne peut pas être égal à 0,9

que c'est maladroit ...

et en plus ce n'est pas une inégalité stricte

si alors donc

et à quelle condition x + y - 2 = 0 ?

Si x=1 et y=1

je pense qu'on peut officiellement passer à la surjection ?

certes ... maintenant que j'ai quasiment tout fait ...

mais il te restera à rédiger cela très correctement !!!

donc on attend de voir pour la surjectivité ... (et quelques chose de lisible et aéré !!)

Si f est surjective, y[ln2;+[ et x[1;+[, f(x)=y
ln(x²-2x+3)=ye^y-3=x²2x

Mais je n'arrive pas à aller plus loin

non !!

Nunusse @ 19-09-2021 à 20:40

Si f est surjective alors y[ln2;+[ alors il existe x appartient[/smb][1;+[, f(x) = y
ln(x²-2x+3)=ye^y-3=x²2x

Mais je n'arrive pas à aller plus loin

carpediem @ 18-09-2021 à 18:36

surjectivité :

Nunusse @ 18-09-2021 à 18:19

Pour f surjective, on cherche un y tel que y=f(x)
soit:
y=ln(x²-2x+3)e^y-3=x²-2x

Là aussi je bloque, je n'arrive pas à exprimer x en fonction de y.

comment ça ?

tout mettre dans un même membre et reconnaitre un trinome du second degré d'inconnue x ...


PS : il existe une méthode autrement plus simple ... mais poursuivons d'abord avec ce que tu as commencé ... on verra plus tard ...