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Bijection d'une fonction polynôme

Posté par
NervaL928 05-12-13 à 20:27

Bonjour bonjour !
Je ne sais pas si cela rentre réellement dans la catégorie lycée en vrai, mais je l'ai quand même mis là...
Je voudrais, si cela est possible, une méthode pour calculer l'équation de la réciproque à une fonction polynôme de degré 2. Je veux dire, calculer l'équation de la courbe qui sera symétrique par la droite y=x à la fonction de degré 2.
Quelqu'un connaîtrait-il une méthode, ou une formule, pour arriver à ceci ?

Posté par
carpediemre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 20:35

salut

si y = f(x) alors sa symétrique par rapport à la première bissectrice est x = f(y)

Posté par
NervaL928re : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 20:45

Okay !
Donc si j'ai, par exemple, f(x)=0,5x²+0,5x, sa réciproque est f(y)=0,5y²+0,5y, je me trompe ?
À partir de là, j'ai f(y)=0,5y²+0,5y \Longleftrightarrow x=0,5y²+0,5y c'est ça ?
Mais là pour le coup, si on continue, y=?

Posté par
carpediemre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 20:52

donc

y2 + y - 2x = 0

et on a un trinôme d'inconnue y

et évidemment il faut choisir une des deux racines ....

Posté par
Taupiinre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:01

Il faut faire attention, on ne parle d'application réciproque uniquement dans le cadre d'une application bijective, ce qui n'est pas le cas d'une fonction polynomiale de degré 2 sans restriction ...

Posté par
NervaL928re : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:03

Donc y²+y+2x=0, là ça va.
Donc \Delta = b²-4ac = 1-8x
Je dois exprimer Delta en fonction de x ?
\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&{\frac{1}{8}}&&+\infty \\{\Delta}& &-&0&+&\end{array}

Posté par
NervaL928re : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:05

"Il faut faire attention, on ne parle d'application réciproque uniquement dans le cadre d'une application bijective, ce qui n'est pas le cas d'une fonction polynomiale de degré 2 sans restriction ..."

Oui, pardon, je cherche à étudier uniquement la bijection de f sur \mathbb{R}^+

Posté par
NervaL928re : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:12

\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&{\frac{1}{8}}&&+\infty \\{\Delta}& &+&0&-&\end{array}
C'est mieux comme ça

Posté par
carpediemre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:47

2f(x) = x(x + 1)

l'axe de symétrie de la courbe est x = 1/2

donc sur quel intervalle y a-t-il bijection ?

Posté par
NervaL928re : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 21:56

Je crains ne pas comprendre la question...
Si ça se trouve, je me suis carrément mal expliqué en fait
Si c'est possible sur la fonction f(x)=0,5x²+0,5x, pour poursuivre sur mon exemple, je cherche une fonction qui soit du type g(x)= \sqrt ..., et qui me donne une courbe symétrique à f par rapport à la droite y=x. Sur GeoGebra, j'ai donc essayé de faire une simple symétrie axiale, et j'obtiens comme équation de courbe y²=2x-y, mais comment interpréter ce résultat ?
PS : je tiens à préciser que ça n'est pas un devoir, donc si il n'y a pas de solution, tant pis hein ! En fait, la fonction f(x)=0,5x²+0,5x permet le calcul de nombres triangulaires (cf )

Posté par
carpediemre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 22:09

c'est bien ce que je t'ai dit ...

maintenant pour "inverser" une fonction il est nécessaire de le faire sur des intervalles où elle est bijective ....

2f(x) = x(x + 1) est symétrique par rapport à ...?

Posté par
carpediemre : Bijection d'une fonction polynôme 05-12-13 à 22:10

et donc on peut exprimer y en fonction de x ... sur des intervalles convenables ....

Posté par
NervaL928Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:36

Bonjour tout le monde !
Je voulais savoir comment retrouver l'équation d'une courbe du type x=f(y) avec f un trinôme du second degré...
Dans mon cas, je suis avec 2x=y²+y. Comment faire SVP ?

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:37

bonjour

ben;.;divise par 2

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:40

... Euh... Hum !
\frac{2x}{2}=\frac{y²+y}{2} ~donne~ x=0,5y²+0,5y

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:41

ben oui;...

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:44

Mais en fait ce que je veux c'est pas x=f(y) mais y=f(x) plutôt
Donc je voulais savoir s'il y avait un moyen de transformer ça en y=...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:53

tu sais ce que tu veux toi ?.....

x ne peut pas s'exprimer comme fonction de y

regarde, voilà la représentation graphique de 2x=y²+y

Equation de Courbe : x=f(y)

et tu vois que x pourrait avoir 2 images ce qui est impossible pour une fct

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 14:59

Oui, c'est en effet ce que je me suis dit quand je l'ai tracé sur GeoGebra...
Dommage qu'il n'y ait pas de moyen...
Ceci dit, même si considère la fonction f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, il n'y a pas moyen, n'est-ce pas ?

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:07

si tu ne prends qu'une moitié de ta parabole (car c'est tout simplement une parabole, qui au lieu d'avoir un axe // à Oy a son axe // à Ox)

alors là tu pourras car tu auras une bijection

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:14

Donc en fait, x=0,5y²+0,5y (sur \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+) est la bijection de y=0,5x²+0,5x.
Mais du coup, je ne sais toujours pas comment faire en fait, les bijection c'est plus niveau lycée en fait...
Je sais trois conneries dessus, mais je suis pas assez calé pour les utiliser...

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:18

D'ailleurs, on peut s'intéresser à la fonction sur \mathbb{R} \to [\frac{-1}{2};+ \infty [

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:23

en réalité, tu peux prendre (mais ce n'est pas le seul choix possible)

x\in[-0,125;+\infty[~~et~~y\in[-0,5 ; +\infty[

et là

de 2x=y²+y

tu tires

y²+y-2x=0

et là, tu dois exprimer y en fct de x

y est "l'inconnue"

considère x comme une constante

et tu obtiens une simple équation du second degré à résoudre
et tu vas savoir exprimer y en fct de x

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:23

Ma foi, peu importe, ne nous tracassons pas avec ceci, j'en parlerai avec ma prof de Maths Mercredi, elle m'expliquera je pense, et je pourrai lui poser mes questions (sans dire que ton aide ne m'est pas utile, au contraire !)
Merci bien, du coup !

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Bijection d'une fonction polynôme 07-12-13 à 15:25

bravo pour le multipost

(Lien cassé)

Posté par
malou Webmasterre : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:26

et voilà du multipost...grrrrr Bijection d'une fonction polynôme

*** message déplacé ***

Posté par
NervaL928re : Equation de Courbe : x=f(y) 07-12-13 à 15:32

Donc, on se retrouve avec \underbrace{y²+y-2x=0}_{a=1,~b=1,~c=-2x}
\Delta = b²-4ac=1-8x

Là, j'exprime \Delta en fonction de x :

\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&{\frac{1}{8}}&&+\infty%20\\{\Delta}&%20&+&0&-&\end{array}

Pour résoudre, je dois "calculer" les deux racine, puis la racine double ?

*** message déplacé ***


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