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Bijection entre deux ensembles

Posté par
maxmaths65 30-10-18 à 21:32

Bonjour,
je vais commencer par vous présenter mon exercice, et puis ce que j'ai fait.

EXERCICE :
E est un ensemble de cardinal n *
X = P(E x E) : les parties de E x E
Y = F(E,P(E)) : l'ensemble des fonction allant de E dans P(E)

1) Déterminer |X| et |Y|
2)Existe-il une bijection entre X et Y ? Si oui, en construire une.

==================================

Q1, pas trop de problème :
Pour X : on sait que |E x E|= n², donc |P(E x E)| = \sum_{k=0}^{n^2}{C(n²,k)} avec C(n²,k) le nombre binomial k parmis n².
Cela fait, par la formule du binôme  |P(E x E)|= 2n²
On a donc |X|=2n²

Pour Y : on sait que |P(E)|= 2n d'où par théorème du nombre de fonction d'un ensemble fini vers un autre : |Y|= (2n)n soit donc :
|Y|=2n²

Q2 :
Le théorème inscrit dans mon cours "principe de bijection" indique que : Si les ensembles finis E et F sont en bijection, alors |E| = |F|
La réciproque n'est pas indiquée, même si elle me semble évidente... Dois-je la démontrer ? et si oui, je ne vois pas comment... je ne sais pas trop comment l'aborder.

Bref, en admettant qu'une telle bijection existe, je n'arrive pas non plus a en construire une... si quelqu'un peut m'aider, j'ai pas mal de difficulté pour construire des bijections de façon ensembliste comme ici...

Merci d'avance pour votre aide.

maxmaths65

Posté par
carpediemre : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 21:42

salut

deux ensembles finis de même cardinal sont toujours en bijection ...

Posté par
maxmaths65re : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 21:47

c'est bien ce que je me disais, c'est une équivalence. Bref, la n'était pas réellement ma question, mais plutôt comment construire une telle bijection ?..

Posté par
lafol Moderateurre : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 21:49

Bonjour
tu prends le premier élément du premier ensemble, tu lui choisis une image au pif dans le deuxième ensemble, tu prends le suivant, tu lui choisis une image au pif dans les éléments pas encore choisis du deuxième ensemble, et ainsi de suite

Posté par
maxmaths65re : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 21:52

Je sais bien que on peut faire comme ca, mais ici on a 2^n^² attributions a faire, il n'y a pas une façon plus concise ?
Dans mon cours, on fait souvent de cette forme là :

F   :              X         ---------> Y
                (x1,x2)  |---------> ......

je dois "juste" trouver quoi mettre a la place des petits points

Posté par
carpediemre : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 22:10

je ne suis pas sur que ce que propose lafol convienne ...

si A x B est un élément de X = P(E x E)  et si f est une fonction de E dans P(E) donc un élément de Y = F(E, P(E)) alors tu as deux façons de faire : soit associer A x B à f soit associer f à A x B

mais je ne vois rien de simple ...

maintenant on peut affiner pour expliciter plus finement f :

f "s'écrit" : \left\lbrace\begin{matrix} E & \to & P(E)\\ e & \mapsto & E_e \end{matrix}\right.

mais je ne vois toujours rien ...

Posté par
lafol Moderateurre : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 22:12

en construire une au hasard, ça risque de ne pas plaire au concepteur de l'énoncé, il est vrai

Posté par
etniopalre : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 22:13

Pour ton exo : X et Y ne sont pas en bijection si n > 1 ( car sinon on aurait Card(X) = Card(Y)  et donc aussi n² = n )
Dans le cas n = 1 , E = {a} , E² = { (a,a)} , …...

Posté par
maxmaths65re : Bijection entre deux ensembles 30-10-18 à 23:20

Je ne comprends pas votre dernière réponse etniopal, en effet, on a bien card(X)=card(Y)=2^n² ...

Posté par
jsvdbre : Bijection entre deux ensembles 31-10-18 à 00:57

Bonsoir

à retenir ou à savoir retrouver :

si A et B sont deux ensembles alors :

(A^B désigne l'ensemble des applications de B dans A et # désigne de cardinal de l'ensemble qui le suit)

\sharp (A \times A) = (\sharp A)^2

\sharp \mathfrak P(A) = 2^{\sharp A} donc

\sharp \mathfrak P(A\times A)=\blue 2^{(\sharp A)^2}

\sharp (A^B)=\sharp A ^{\sharp B} donc

\sharp (\mathfrak P(A)^B)=(\sharp \mathfrak P(A))^{\sharp B}=2^{\sharp A \sharp B}

donc si \sharp A = \sharp B

\sharp (\mathfrak P(A)^B)=(\sharp \mathfrak P(A))^{\sharp A}=\blue 2^{(\sharp A)^2}

Donc \mathfrak P(E\times E) et \mathfrak P(E)^E sont équipotents.

Ça marche pour tout cardinal, même infini (disons, au moins, pour les cardinaux accessibles)

Posté par
jsvdbre : Bijection entre deux ensembles 31-10-18 à 01:19

On peut alors définir une bijection \varphi : \mathfrak P(E\times E) \rightarrow \mathfrak P(E)^E,~A \mapsto \varphi(A) telle que :

\varphi(A) : E \rightarrow \mathfrak P(E)

\varphi(A)(x) = \{y \in E~/~(x,y) \in A\}

A tout x de E, on associe l'ensemble (éventuellement vide) des éléments de A qui ont pour abscisse x.


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