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Bijection et surjection
Posté par Sallam
S'il vous plaît je cherche la solution de cet exercice :
Soit f:E-->F une application.
Mq: a): f est injective <==> quelque soit À € P(E): A=f^-1(f(A))
b): f est surjective <==> quelque soit B€ P(F): f(f^-1(B))=B
bonjour,
pour a) f est donc une bijection de A dans f(A) donc ....
si f non injective
notons
; donc
donc ....tu vois la contradiction que dire de
b) essaye de travailler de même avec les deux sens
Il y a 4 démonstrations à faire :
1.Si f est injective alors 
A 
E on a f-1(f(A)) = A .
2.La réciproque .
.....
Pour la 1 : Comme il est clair que f-1(f(
)) = , tu prends Anon vide contenu dans E .
.Si x 
A on a évidemment y := f(x) f(A) .
et donc { x} = f-1[(}y) d'où x f-1(f(A)) .
( Ici l'injectivité de f n'intervient pas )
En tout cas ça prouve que A est contenu dans f-1(f(A)) .
.In versement si t f-1(f(A)) on a z := f(t) f(A) donc il existe a A tq z = f(a) donc f(t) = f(a) et f étant injective t = a donc t A .
Cela prouve l'inclusion inverse .
....