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Bijection réciproque

Posté par
pikozie
20-03-22 à 12:32

Bonjour à tous ... Voici encore un sujet difficile pour moi, besoin de votre aide :

La fonction f défini par f(x)=racine(ex-e2x) réalise une bijection de [-ln2; 0] vers [0; 1/2]

Déterminer sa bijection réciproque f-1

J'ai posé que pour x appartement à [-ln2; 0] et y appartement à [0; 1/2]
f(x) =y  équivaut à ex-e2x= y² ( je ne sais pas comment avoir le x)

Merci d'avance...

Posté par
larrech
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 12:43

Bonjour,

Tu as une équation de deuxième degré en ex

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 12:56

Ah oui oui ! Comme suis effrayé très vite

e2x-ex+y²=0

En posant X=ex

On a: X²-X+y²=0

Delta= 1-4y²

X1=\frac{1-racine(1-4y²)}{2}

X2=\frac{1+racine(1-4y²)}{2}

Donc f-1(x)=ln(X2) en remplacement le y par x

Car pour ln(X1) l'image de 0  est différente de -ln2


Merci beaucoup ;

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 12:57

*ln(X2)

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 13:09

*Et c'est plutôt l'image de 1/2 qui est différente de -ln2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 15:36

Bonjour,
Je réponds en attendant le retour de larrech.
Il n'y a pas de "différent de" mais des inégalités qui doivent être vérifiées par x ; donc par X = ex.

Il faut choisir entre X1 et X2, en le justifiant correctement.

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 16:35

Comment je choisi dans ce cas ?

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 16:43

x est compris entre -ln(2) et 0 ; donc ex est compris entre ... et ... .

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 16:46

1/2 et 1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 17:01

C'est ce qui permet de choisir entre X1 et X2.

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 17:33

Ah d'accord, je vois :

Pour y compris entre 0 et 1/2 X1 est compris entre 0 et 1/2
Alors que X2 est bien compris entre 1/2 et 1

Il faut donc choisi X2

?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 17:58

En fait, pas besoin de parler de y pour justifier que \dfrac{1-\sqrt{machin}}{2} est inférieur à 1/2 alors que \dfrac{1+\sqrt{machin}}{2} est supérieur à 1/2.

Le cas y = 1/2 est un peu à part.

Posté par
pikozie
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 18:05

Ok, merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Bijection réciproque 20-03-22 à 18:16

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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