Bonjour, je ne sais pas par où commencer pour trouver cette bijection réciproque. J'ai cru comprendre qu'il fallait poser y=x+ln(1+x)mais après je sais pas quoi faire. C'est défini sur ]-1,+\infty[.
Merci de votre aide. Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que c'est qu'une bijection réciproque ce serait le top!
salut
sais-tu résoudre cette équation y = x + ln (1 + x) ?
c : x --> x2 est définie de R dans R+
et de R+ dans R+ alors sa réciproque est x --> x
...
y = x + ln (1 + x)
je passe à l'exponentielle:
e^(y)=e^(x+ln(1+x))
e^(y)=(e^x)*(1+x)...j'y arrive pas trop après.
parce qu'on ne peut pas ....
par contre tu peux prouver qu'il y a une bijection réciproque dans un premier temps ...
maintenant il serait bien d'avoir un énoncé complet ....
Démontrer que la fonction f(x)= x + ln(1+x) admet une bijection réciproque au voisinage de 0. Calculer un développement limité à l'ordre 3 en o de cette réciproque.
En faite il faut que je trouve une application qui va de ]-1,+infini[ à R.
Il faut que je résous y=x + ln(1+x) pour trouver un x égal à quelque chose?
prouvons qu'il y a une bijection réciproque:
f est une bijection telle que l'on ait:
f: R+ -> R
x ->x + ln(1+x)
(donc tout A qui appartient à x + ln(1+x)admet un unique antécédent B)
Il existe une bijection réciproque qui va de R->R+ tel que:
f-1: R->R+
x->???
f est une application de U := ]-1 , +[ vers
. Elle est strictement croissante . Quand x
-1 , f(x)
-
et quand x
+
, f(x)
+
.
f est donc bijective de U sur . (Vois-tu en vertu de quel théorème ?)
f admet donc une application inverse g qui va de sur U , mais il n'y a pas de joli formule pour g . (Comme pour cos de ]0 ,
[ sur ]-1 , +1[ où on a donné un nom a son inverse )
Tu as du voir que g est dérivable et que pour tout t
on a : g '(t) = ...
g est même autant de fois dérivable que f ; donc autant qu'on veut .
Pour avoir les DL de g en 0 on dispose donc des formules de "Taylor and Co " .
A toi de trouver , pour ton exercice , g '(0) , g "(0) et g'''(0) .
Pour tout x de U tu as x = g(f(x)) donc 1 = g '(f(x)).f '(x) .
Si dans cette formule tu remplaces x par g(t) (où t
) tu obtiens que pour tout t
on a : 1 = g '(t).f '(g(t)) donc 1 = g '(0).f '(0) (car g(0) = 0) .
Tu auras ensuite , pour tout t
: 0 = g"(t).f '(g(t)) + g '(t).f "(g(t)).g '(t)
...xétéra...
j'ai trouvé g'(0)=1/2, g''(0)=1/8 et g'''(x)=-1/8.
D'après le Théorème de Taylor on a:
g(x)=g'(0)*(x-0) + [g''(0)]/2*(x-0) + [g'''(0)]/6*(x-0) + (un petit "tho" de x^3)
Est ce que c'est ça le DL?
Merci pour vos réponses.
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