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Niveau Maths sup
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Bijection réciproque de x+ln(1+x)

Posté par
roserty
02-04-13 à 19:48

Bonjour, je ne sais pas par où commencer pour trouver cette bijection réciproque. J'ai cru comprendre qu'il fallait poser y=x+ln(1+x)mais après je sais pas quoi faire. C'est défini sur ]-1,+\infty[.
Merci de votre aide. Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que c'est qu'une bijection réciproque ce serait le top!

Posté par
carpediem
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 19:55

salut

sais-tu résoudre cette équation y = x + ln (1 + x) ?


c : x --> x2 est définie de R dans R+

et de R+ dans R+ alors sa réciproque est x --> x

...

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 20:04

y = x + ln (1 + x)
je passe à l'exponentielle:
e^(y)=e^(x+ln(1+x))
e^(y)=(e^x)*(1+x)...j'y arrive pas trop après.

Posté par
carpediem
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 20:09

parce qu'on ne peut pas ....

par contre tu peux prouver qu'il y a une bijection réciproque dans un premier temps ...

maintenant il serait bien d'avoir un énoncé complet ....

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 20:31

Démontrer que la fonction f(x)= x + ln(1+x) admet une bijection réciproque au voisinage de 0. Calculer un développement limité à l'ordre 3 en o de cette réciproque.
En faite il faut que je trouve une application qui va de ]-1,+infini[ à R.
Il faut que je résous y=x + ln(1+x) pour trouver un x égal à quelque chose?

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 21:10

prouvons qu'il y a une bijection réciproque:
f est une bijection telle que l'on ait:
f: R+ -> R
   x  ->x + ln(1+x)

(donc tout A qui appartient à x + ln(1+x)admet un unique antécédent B)

Il existe une bijection réciproque qui va de R->R+ tel que:
f-1: R->R+
     x->???

Posté par
kybjm
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 21:28

f est une application de U := ]-1 , +[ vers . Elle est strictement croissante . Quand x -1 , f(x) - et quand x + ,  f(x)   + .
f est donc bijective de U sur . (Vois-tu en vertu de quel théorème ?)
f admet donc une  application inverse g qui va de sur U , mais il n'y a pas de joli formule  pour g . (Comme pour cos de ]0 , [ sur ]-1 , +1[ où on a donné un nom a son inverse )

Tu as du voir que g est dérivable et que pour tout t on a : g '(t) = ...
g est même autant de fois dérivable que f ; donc autant qu'on veut .
Pour avoir les DL de g en 0 on dispose donc des formules de  "Taylor and Co " .
A toi de trouver , pour ton exercice , g '(0) , g "(0) et g'''(0) .

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 21:45

j'ai trouvé:
g'(x)=1/[(x + ln(1+x))']
     =1/(1+1/(1+x))
     =(1+x)/(2+x)

c'est ça?

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 21:51

oups! Je me suis trompée:
c'est plutôt: g'(x)=(2+x)/(1+x)

Posté par
kybjm
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 21:59

Pour tout x de U tu as x = g(f(x)) donc 1 = g '(f(x)).f '(x) .
Si dans cette formule tu remplaces x par g(t) (où t ) tu obtiens que pour tout t on a :  1 = g '(t).f '(g(t)) donc 1 = g '(0).f '(0) (car g(0) = 0) .
Tu auras ensuite , pour tout t : 0 = g"(t).f '(g(t)) + g '(t).f "(g(t)).g '(t)
...xétéra...
  

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 22:45

j'ai trouvé g'(0)=1/2, g''(0)=1/8 et g'''(x)=-1/8.
D'après le Théorème de Taylor on a:
g(x)=g'(0)*(x-0) + [g''(0)]/2*(x-0) + [g'''(0)]/6*(x-0) + (un petit "tho" de x^3)

Est ce que c'est ça le DL?
Merci pour vos réponses.

Posté par
roserty
re : Bijection réciproque de x+ln(1+x) 02-04-13 à 23:06

j'ai oublié les exposants:

g(x)=g'(0)*(x-0) + [g''(0)]/2*(x-0)^2 + [g'''(0)]/6*(x-0)^3 + (un petit "tho" de x^3)

    =x/2+(x^2)/16-(x^3)/48+o(x^3)



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