Désolé, j'ai fait une erreur à la 7ème ligne: je voulais dire bijection réciproque et non orthogonale bien sur^^.

Et n>1 à la 11ème ligne aussi

Salut.

Dans le cas analytique, une étude classique de fonctions permet de montrer l'existence ou non d'une telle fonction réciproque.

Et comme tu l'as remarqué, la fonction réciproque d'une fonction doit être définie sur le bon intervalle.

Ensuite, pour déterminer une expression de la fonction réciproque, en général, on résout l'équation en , (pas nécessairement des plus simples).

Bijection réciproque
Bref, je vois de quoi tu parles...
De plus, bijectif n'implique pas monotone... Pour répondre à ta question,
qui n'est pas bijective sur

Bonsoir,
la fonction xx^x n'est pas une bijection de ]0;+[ dans quoi que ce soit.
Elle n'admet donc pas de fonction réciproque.

et oui, elle est bijective de

Bonjour,

le posteur initial du sujet a bien dit à la fin de son message que n'est pas injective sur mais qu'elle est strictement monotone sur .

A priori il n'y a pas d'expression analytique pour la réciproque de sur , de la même manière que admet une réciproque sur mais qui n'a pas d'expression analytique ().

J'appelle la réciproque de sur le bon intervalle. On peut en bidouillant un peu, obtenir des formules faisant intervenir .

Notamment cette équation différentielle issue de la formule   :



qui peut s'intégrer en :



Formule qui peut être entre autres utile pour la résolution numérique ou alors obtenir des majorations sur .

l'écrirure f(g(x))=g(f(x)) n'est pas correcte car dans le premier cas x est dans le domaine de déf. de g et dans l'autre de f et il se peut que ces domaine de déf. soient disjoints.

Si une fonction est continue et bijective sur [a,b] alors elle est monotone sur [a,b].

Bonjour,


Il existe une fonction ad hoc pour résoudre l'équation



Ici,  sur un intervalle à préciser





Alain

Merci à tous pour vos réponses,
cependant, il me faudrait quelque mises au points étant donné mon petit niveau de terminale

premièrement,est-ce que dire qu'une fonction n'a pas d'expression analytique signifie que l'on ne peut l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles?

Deuxièmement, que signifie (f◦g)(x)?

Merci

Bonjour,


Les 'fonctions' ln(x),exp(x), sin(x)... sont des objets ad hoc créés,
à l'usage ils deviennent usuels; leur nombre n'est pas limité.


(f◦g)(x) est équivalent à f(g(x)) mais distingue la
l'application dont la variable x fait l'objet,



Alain

Pas d'expression analytique signifie effectivement qu'on ne peut exprimer la fonction considérée en fonction d'autres fonctions usuelles qui sont par exemple ln, exp et sin comme le dit alainpaul.

Ah d'accord, on distingue (f◦g)(x) de f(g(x)) car dans le deuxième cas, c'est g(x) la variable et non x (premier cas).
Les objets "ad hoc" je n'en ai jamais entendu parler, mais si j'ai bien compris ce que dit alainpaul, c'est une fonction créée à l'aide d'intégrales, de séries entières ou autre que l'on ne peut exprimer à l'aide des opérations de bases(+,x,-,/), non? Par exemple, ln(x) est l'intégrale
Mais cela veut dire que la bijection réciproque de x^x (définie sur le bon intervalle) est peut être un nouveau objet ad hoc, je veux dire qu'on ne peut l'exprimer à l'aide d'autres fonctions, et si c'est le cas, comment prouver qu'elle est "non composée" d'autres objets ad-hoc?

*l'ntégrale de 1/x

salut

f o g(x) = f[g(x)]

f o g est la composée des fonctions f et g  (tape composée de fonctions sur internet) et permet d'alléger l'écriture du membre de droite ....

une fonction est simplement une opération d'un ensemble dans un autre ...

à partir de fonctions élémentaires et d'opérations sur les fonctions (leur somme, leur produit, ..., leur composée,...) on en construit d'autre ...

maintenant tu peux construire une fonction quelconque (bien la définir) et l'appeler truc si tu veux ...

donc truc(2) vaut tant, truc(-5) vaut tant ....

ensuite le pb est de pouvoir ou non exprimer ta fonction truc en fonction d'opérations ou de fonctions élémentaires ...

on a simplement appelé ln la fonction définie par x --> ₁^x dt/t ... et il est quand même plus simple d'écrire ln(2) que ₁² dt/t ...

ensuite ne pas savoir ne signifie pas qu'on ne puisse pas ....