Salut à tous,
Je galère sur une question. Étant donné une bijection de , sans points fixes, prouver que les deux ensembles suivants sont infinis:
et .
Si ça peut aider, cette question vient d'un exercice où on a démontré avant que:
- implique
- implique
Bonjour,
Attention, la dernière ligne est fausse car sans doute incomplète.
f(n) = n+1 est un contre exemple.
Peux-tu donner l'énoncé du 1er au dernier mot sans rien y changer ?
Bonsoir Sylvieg,
est de bijection de (dans )...ton application contre-exemple n'est pas surjective, donc n'est pas bonne...
Commence par remarquer que si A et B sont finis, est fini donc son complémentaire est infini.
Donc il y a une infinité de n tels que et
Maintenant il faut montrer que c'est vrai pour tous les n
Bonsoir Ulmiere,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris...
D'autant plus que le complémentaire de cette union est vide...
J'ai réussi à montrer que A ou B est nécessairement infini (j'aurais dû le préciser). Que tous les deux sont non-vides (B contient 0 et A contient l'antécédent de 0).
Bonsoir,
Je n'avais pas compris que f était aussi une bijection dans les questions précédentes.
Je répète qu'un énoncé complet est toujours préférable.
Bonjour,
Puisque tu es déjà à l'étape suivante, c'est effectivement une bonne idée de regarder les images réciproques/directes de A et B
Si n est dans B alors f(n)>n, donc f(n) est strictement plus grand que son image par . Donc , ce qui s'écrit aussi .
Symétriquement, on a aussi , mais surtout, en travaillant avec à la place de f, que . Or, nous avons déjà vu que au début de ce paragraphe. Donc .
Mais tu as déjà montré que au moins un ensemble parmi et était infini. Supposons sans perte de généralité que ce soit A. Alors est infini et son image par la bijection , qui n'est autre que est également infinie. Ce qu'il fallait démontrer.
Il ne reste plus qu'à établir un lien entre et ou l'équivalent avec des A ou avec des à la place des f
Merci Ulmiere pour ton aide. C'est une piste que j'avais exploré également, sans succès. Désolé je n'ai pas pu indiquer toutes mes réflexions, car j'y ai réfléchi sur plusieurs jours et un peu dans tous les sens...et impossible de mon point de vue de savoir si je n'ai simplement pas assez poussé l'une de ces pistes...
Le soucis est que justement en avoir un infini ne dit pas lequel pour chacune des bijection.
Pour f ça peut B mais A pour sa réciproque...etc
Je ne vois pas de lien permettant de conclure quant à l'infinité de B de la réciproque à partir de l'infinité du B de f...
Si le courage m'en prend, je vais peut-être essayer de présenter celles que je pense le plus fructueuses...
Bonjour,
On peut raisonner par l'absurde.
Supposons fini. Ceci veut dire qu'il existe tel que pour tout on a .
Alors (indication : que peut on dire de l'image par de l'ensemble - de cardinal - des entiers strictement plus petits que ?).
Ceci est valable pour toute bijection .
Bonjour GBZM,
Merci pour ton aide.
Oublie A et B pour le moment.
N'oublie pas que f est une bijection : tout entier est l'image par f d'un entier et un seul.
Tout entier n supérieur ou égal r s'envoie sur un entier supérieur ou égal à n.
Quels entiers vont bien vouloir s'envoyer sur les entiers < r ??
Ok. Je rédige un peu mieux pour ceux qui seraient intéressés et pour clarifier dans ma tête .
Les images des entiers strictement inférieurs à r sont nécessairement des entiers strictement inférieurs à r. Car
- les entiers inférieurs à r strictement admettent tous un antécédent exactement par f (bijection).
- Ces antécédent ne peuvent être les entiers supérieurs à r, car leurs images sont toutes plus grandes que r.
On a bien . Mais r ne peut être atteint par des entiers supérieurs à r strictement, car leurs images sont plus grande que r+1. Donc l'antécédent de r est r. Ce qui est absurde...(f sans points fixes)...
Donc A est infinie quelle que soit la bijection, en particulier pour la réciproque de f. Mais B de f a la même cardinalité que A de la réciproque de f. Donc B est aussi infinie...
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