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bijectivité 1/x?

Posté par
Zormuche
23-03-17 à 02:15

Bonjour

Au lycée on nous dit souvent qu'une fonction est bijective si elle est strictement monotone et continue sur son ensemble de définition

Mais la fonction f inverse, malgré sa discontinuité, vérifie a=b f(a)=f(b) donc elle a bien une image unique pour chaque antécédent et réciproquement un antécédent unique pour chaque image
Donc on peut dire qu'elle est bijective n'est-ce pas?

Posté par
Zormuche
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 02:17

ah oui je précise, avant que cela me soit reproché, a et b appartiennent à l'ensemble de définition de f

Posté par
carita
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 08:04

bonjour

si mes souvenirs sont exacts,
oui la fonction inverse est bijective sur R*.
(bijective sur R+* et bijective sur R-*)
elle présente même la particularité d'être égale à sa fonction réciproque.

Posté par
carpediem
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 08:10

salut

Citation :
Au lycée on nous dit souvent qu'une fonction est bijective si elle est strictement monotone et continue sur son ensemble de définition
donc a donc une condition suffisante !!

pour que f soit bijective il suffit que f soit strictement monotone (et la continuité n'est même pas nécessaire

ce qui signifie qu'il existe d'autres conditions pour être bijective ... en particulier vérifier tout simplement la définition d'une fonction bijective

ici la fonction inverse vérifie cette définition ... donc elle est bijective ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 08:47

Bonjour,
Attention, à bien préciser l'ensemble d'arrivée.
Voici un exemple simple :
f(x) = 1+ 1/x si x>0
f(x) = -1 +1/x si x<0 .

Et un exemple de non monotone définie sur :
f(x) = x si x>0
f(x) = 1/x si x<0

Posté par
Zormuche
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 19:44

Merci beaucoup !

j'ai une autre question concernant la fonction tan(x) : comme elle est discontinue mais toujours croissante dans sa continuité, peut-on dire qu'elle est "strictement croissante" ?

Posté par
Zormuche
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 19:46

Ou alors seulement "strictement croissante sur [pi(k-1) ; pi(k+1)]

Posté par
Zormuche
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 19:50

je voulais dire  sur  \Bigg[\dfrac{\pi(2k-1)}{2}\quad;\quad\dfrac{\pi(2k+1)}{2}\Bigg]

Posté par
alb12
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 19:51

salut,
oui sur tout intervalle inclus dans son ensemble de definition

Posté par
alb12
re : bijectivité 1/x? 23-03-17 à 19:52

bornes non comprises

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