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Niveau Maths sup
Bijectivité
Posté par Jaacklin
Jeme suit bloquée dans la surjectivté
Etudier l'injectivité et la surjectivité et la bijectivité de
R3---R2 , (x,y,z)---(x+y+z,x-y)
Salut,
Prenons un élément de R², disons (a,b), le but est de voir s'il existe (x,y,z) dans R^3 tel que f(x,y,z)=(a,b).
Il faut donc trouver si possible x,y,z tels que x+y+z=a et x-y=b.
Si ce n'est pas possible pour certaines valeurs de a et de b, tu n'as alors pas surjectivité.
C'était pour avoir un système triangulaire mais on peut s'en passer.
On a x = y+b puis on remplace dans la 1ère équation d'où z en fonction de a, b, y. En donnant à y une valeur arbitraire on trouve un couple (x,y,z) qui satisfait au système x+y+z = a
x-y = b
L'application f : (x,y,z) 
(x + y + z , x - y) est linéaire .
Elle n'est pas injective car sinon on aurait 3 
2
f(1,0,0) = (1,1) , f(0,1,0) = (1,-1) donc elle est surjective .
d'autre part le système :
x + y + z = a
x - y = b
admet trivialement les solutions (b, 0, a - b) et (2b, b, a - 3b)
si b <> 0 alors ces triplets sont distincts
...