Niveau LicenceMaths 2e/3e a

[bilinéaire] déterminer le cône isotrope

Posté par
DLLKEVIN 20-04-18 à 10:14

Soit E un espace vectoriel de dimension 4.
B = (e₁,e₂,e₃,e₄) une base de E et q la forme quadratique définie sur E par :
Pour tout X = xe₁+ye₂+ze₃
appartenant à  E,
q(X) = 6z²+2t²+4xy+6zt

1.Définir la forme polaire $\beta$ associé à q.
$\beta$   = 6zz $^{'}$ + 2tt $^{'}$ +2(xy $^{'}$ + x $^{'}$ y) + 3(zt $^{'}$ +z $^{'}$ t)

La matrice A de $\beta$ est :
$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 6& 3\\ 0& 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

la forme bilinéaire symétrique est elle dégénérée ?
Oui car son determinant est égale à 12

E admet t'il une base orthonormale relativement à   $\beta$ ?
$\beta$ admet une base orthonormal ssi
Pour tout  1 $\leq$ i $\leq \leq$ n , q(e_i) = 1
et q(e_i,e_j) = 0 Pour tout  1 $\leq$ i $\neq$
j $\leq \leq$ n

Donc j'ai cherché à mettre sous forme de somme de carré j'obtiens :
$6(z+\frac{1}{2}t)^{2}+ \frac{1}{2}t^{2}+(x+y)^{2}-(x-y)^{2}$

posons X = (x',y',z',t')

$\begin{cases} x' & = z + \frac{1}{2}t \\ y'& =x + y \\ z'& =x - y \\ t' & = t \end{cases}$

Soit P la matrice de passe de B à B'

p^-1 =   $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1& -1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Determinons P
j'obtiens

P = $\begin{pmatrix} 0& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ 1& 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

donc
e₁ = (0,0,1,0)
e₂ = ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ,0,0)
e₃ = ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{-1}{2}$ ,0,0)
e₄ = (0,0, $\frac{-1}{2}$ ,1)

4 ) déterminer le cône isotropre .

quelqu'un pourrait il m'aider ?
j'arrive pas à resoudre la question 4

Merci d'avance

Posté par re : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope 20-04-18 à 12:20

Bonjour DLLKEVIN.
Il y a une petite erreur de calculs :

$q(x;y;z;t) = 6z^2+2t^2+4xy+6zt =6(z+\frac{1}{2}t)^2 + {\red\frac{4}{3}}t^2 + (x+y)^2-(x-y)^2$

Sinon, il est sympa ce cône isotrope : il faut résoudre $6z^2 + 6tz +2t^2 +4xy = 0 \Leftrightarrow 6(z+\frac{1}{2}t)^2 + \frac{4}{3}}t^2 = -4xy$

Cas $xy>0$ : pas de solutions

Cas $xy = 0$ : alors dans la base canonique $\{e_1;e_2;e_3;e_4\}, \textbf{vect}\{e_1\} \cup \textbf{vect}\{e_2\}$ est une partie du cône.

Cas $xy<0$ : voyons cette équation comme étant du second degré en $z$

$\Delta = 36t^2-24(2t^2+4xy)=-12(t^2+8xy)$

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow t^2+8xy \leq 0$

Donc sous l'hypothèse $t^2 \leq -8xy$ et donc comme $xy < 0$ on se ramène à $\blue t \in [-\sqrt {8 |xy|};~\sqrt {8 |xy|}]$

On trouve donc $\blue z = -\dfrac{t}{2} \pm \dfrac{\sqrt{|t^2+8xy|}}{\sqrt{12}}$ .

Je vous laisse dessiner la bête en 4D ...

Posté par re : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope 20-04-18 à 12:43

Merci j'ai mieux compris avec tes démonstrations

Posté par re : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope 20-04-18 à 12:52

Autre détail : la forme bilinéaire symétrique est elle dégénérée ? NON car le déterminant est égal à 12. donc la matrice est inversible, donc son noyau est réduit à 0.
Cela n'empêche pas la forme quadratique correspondante d'avoir un joli cône isotrope.

Posté par re : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope 20-04-18 à 14:11

Bonjour,

Et même -12, mais cela ne change rien au fond.

Posté par re : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope 20-04-18 à 14:16

Bonjour
qui est t ?

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