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Niveau Maths sup
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Binôme de newton

Posté par
Dhako
16-01-18 à 18:48

Je cherche a simplifier a l'aide du binôme de newton
\sum_{k=0}^{n}kPk(t)

Avec Pk(t)= (nk)tk(1-t)n-k
Pour t dans [0,1]

Sans le k dans la somme je trouve une somme égale a 1 mais avec je n'arrive pas a simplifier.

Posté par
carpediem
re : Binôme de newton 16-01-18 à 18:54

salut

k {n \choose k} = n {n - 1 \choose k - 1} ...

Posté par
Dhako
re : Binôme de newton 19-01-18 à 13:54

Je trouve que la somme est égale à nt, c'est bien ça ?

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 15:14

Bonjour,

Voui!

Posté par
Dhako
re : Binôme de newton 19-01-18 à 17:39

Merci beaucoup.

Juste une question , si jamais on rajoute un terme en (k-1) dans la somme pourrait donc utiliser cette même méthode?

J'ai essayé d'en faire de même puis de passer par une dérivée mais ça n'aboutit pas.

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:08

Pas claire ta question; poste une somme effective à calculer.

On verra ensuite...

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:15

S'il s'agit de calculer:

\sum_{k=0}^nk(k-1)\binom{n}{k}t^k(1-t)^{n-k},

on applique deux fois de suite la même formule pour tomber sur n(n-1)t^2

Posté par
Dhako
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:22

Oui c'est bien cela.
Encore merci, je vais essayer cela.

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:28

et avec t=\dfrac{1}{2}, on obtient d'autres formules...

Posté par
Dhako
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:37

Je crois que je me suis perdu là.

Je suis bloqué à \sum_{k=0}^{n} {n-1\choose k-1}nktk(1-t)n-k-nt

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:48

Voyons on peut commencer à k=2, ça ne change rien:

  S_n=\sum_{k=2}^nk(k-1)\binom{n}{k}t^k(1-t)^{n-k}=n\sum_{k=2}^n(k-1)\binom{n-1}{k-1}t^k(1-t)^{n-k}

  S_n=n(n-1)\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{k-2}t^k(1-t)^{n-k}

  S_n=n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}t^{k+2)(1-t)^{n-k-2} (avec un changement d'indice).

  S_n=n(n-1)t^2\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}t^{k}(1-t)^{n-2-k}

  S_n=n(n-1)t^2(t+1-t)^{n-2}=n(n-1)t^2

Posté par
lake
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:49

Une erreur:

   S_n=n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}t^{k+2}(1-t)^{n-k-2} (avec un changement d'indice).

Posté par
Dhako
re : Binôme de newton 19-01-18 à 18:56

J'ai compris maintenant.
Vraiment merci pour vos réponses !



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