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Binome de Newton

Posté par guitou13 (invité) 19-09-06 à 23:44

Coucou tout le monde !

j'ai un petit problème pour résoudre ce problème :

Montrer ceci pour p n

Merci d'avance...

Binome de Newton

Posté par
Roulianere : Binome de Newton 20-09-06 à 01:04

Bonsoir,

Procède par récurrence sur n, en utilisant le triangle de pascal.

Posté par
raymond CorrecteurRe : Binome de Newton 20-09-06 à 01:05

Bonsoir.
Tu sais que :
3$\textrm\(n\\k\) = \(n-1\\k-1\) + \(n-1\\k\) (I).
Appelons S(n,p) la somme que tu proposes. Ecrivons par (I) :
3$\textrm \(p\\p\) = \(p-1\\p-1\)
3$\textrm \(p+1\\p\) = \(p\\p-1\) + \(p\\p\)
3$\textrm \(p+2\\p\) = \(p+1\\p-1\) + \(p+1\\p\)
.
.
.
3$\textrm \(n\\p\) = \(n-1\\p-1\) + \(n-1\\p\).
En ajoutant, je trouve :
S(n,p) = S(n-1,p-1) + S(n-1,p)
Passons à une récurrence sur n p. Si n = p :
3$\textrm S(p,p) = \(p\\p\) = \(p+1\\p+1\)
Vrai. On suppose que c'est vrai à l'ordre < n. Alors :
3$\textrm S(n,p) = \(n\\p\) + \(n\\p+1\) = \(n+1\\p+1\).
Sauf erreurs de frappe. Cordialement RR.


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