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Niveau Reprise d'études-Ter
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Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle

Posté par
sgu35
26-06-21 à 21:25

Bonjour,
je cherche à montrer que dans un triangle isocèle en A, la bissectrice issue de A et la médiatrice issue de A sont confondues.

Posté par
ty59847
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 26-06-21 à 22:39

La médiatrice issue de A ????
Tu es sûr que c'est cette phrase là dans l'énoncé ?

Du coup, peux tu recopier l'énoncé précis de l'exercice.

Ensuite, la première étape,  c'est de rappeler la définition d'une bissectrice, et d'une médiatrice.
Même si tu ne sais pas résoudre l'exercice, montrer que tu connais les définitions, ça ne fait pas de mal.

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 26-06-21 à 22:43

pardon, c'est la médiatrice du segment [BC].
Le triangle s'appelle ABC.
La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Posté par
ty59847
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 26-06-21 à 23:39

Oui, bien.
J'aurais dû te demander aussi la définition d'un triangle isocèle.

Donc, à partir des définitions que tu as données, la médiatrice du segment BC n'a aucune raison de passer par A...  au moins dans un triangle quelconque.
On a donc envie de commencer en montrant que dans le cas d'un triangle isocèle, la médiatrice de BC passe par A.
Et ensuite, tu dois pouvoir continuer ?

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 10:22

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur.

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 10:24

On a aussi cette définition :
La médiatrice du segment [BC] est l'ensemble des points M du plan tels que MB=MC.

On a AB=AC donc A appartient à la médiatrice de [BC].

Posté par
hekla
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 10:33

Bonjour

Montrez que cette médiatrice est la bissectrice de l'angle \widehat{A}

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 10:41

Soit I le milieu de [BC].
On a IB=IC donc I appartient à la médiatrice de [BC].
La médiatrice de [BC] est donc la droite (AI).
Soit J l'intersection de la bissectrice issue de A avec le côté (BC).
On montre ensuite que les triangles ABJ et ACJ sont isométriques.
On a AB=AC car le triangle ABC est isocèle, \widehat{ABJ}=\widehat{ACJ} car ABC est isocèle,  et \widehat{BAJ}=\widehat{CAJ} car (AJ) est la bissectrice issue de A , donc ABJ et ACJ sont isométriques.
Donc BJ=CJ.
J appartient appartient au segment [BC] et BJ=CJ, donc J est le milieu de ce segment donc J=I.
La bissectrice issue de A est donc la droite (AI), tout comme la médiatrice du segment [BC].
Donc ces deux droites sont confondues.

Posté par
hekla
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:24

N'est-ce pas la définition d'une médiatrice ? Droite perpendiculaire à un segment en son milieu Vous considérez la médiatrice de [BC]

Si vous voulez, mais je ne vois pas la nécessité de considérer le point J

Vous avez montré qu'icelle passe par A On a donc une appellation plus courte de cette médiatrice  (AI)

dans  le triangle AIB \widehat{BAI}=90-\widehat {B}

et le triangle  AJC \widehat{CAI}=90-\widehat {C}

or \widehat{B}=\widehat{C} le triangle est isocèle  d'où l'égalité des angles

(AI) partage donc l'angle A en deux angles de même mesure,  c'est donc une bissectrice

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:28

Citation :
N'est-ce pas la définition d'une médiatrice ? Droite perpendiculaire à un segment en son milieu Vous considérez la médiatrice de [BC]

Si vous voulez, mais je ne vois pas la nécessité de considérer le point J



Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par là...

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:29

Sinon, c'est vrai que ta démonstration est plus courte que la mienne.

Posté par
hekla
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:41

Citation :
Soit I le milieu de [BC].
On a IB=IC donc I appartient à la médiatrice de [BC].
La médiatrice de [BC] est donc la droite (AI).


Pourquoi montrer que I appartient à la médiatrice de [BC] ?

Si vous dites que I est le milieu de [BC]  alors I appartient nécessairement à la médiatrice puisque c'est un des éléments de la définition de la médiatrice.

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:47

Ok merci!

Posté par
ty59847
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:48

Juste un point 'administratif' : j'ai vu dans un autre message que tu étais en reprise d'études ; ce serait bien de modifier la section de cette discussion.

Posté par
sgu35
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 11:50

Comment fait-on?

Posté par
hekla
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 27-06-21 à 12:01

Bonjour ty59847

Je vous laisse continuer maintenant

Posté par
lafol Moderateur
re : Bissectrice et médiatrice dans un triangle isocèle 29-06-21 à 11:26

sgu35 @ 27-06-2021 à 11:50

Comment fait-on?

bonjour
on ne peut pas le faire tout seul, un modérateur peut le faire, il faut quand tu postes ton message que tu choisisses la bonne section (mais là c'est ok, on est bien dans reprise d'études :
Citation :
Forum de mathématiques> Lycée >Reprise d'études-Ter >Géometrie plane et dans l'espace



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