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Blocage avec une inégalité avec dérivation et exponentielles
Bonjour,
j'ai un dm de maths a rendre bientôt et je bloque complètement sur un exercice et j'aimerai beaucoup que quelqu'un m'aide ^^
Voici le sujet de l'exercice:
Il s'agit d'établir l'inégalité 1 + 𝑥 + (𝑥^2)/2 + (𝑥^3)/6 ≤ 𝑒^x sur ℝ
Pour cela on a recours à la fonction 𝜙 définie sur ℝ par 𝜙(𝑥)=𝑒^𝑥 − 1 − 𝑥 −(𝑥^2)/2 -(𝑥^3)/6
Il est aussi précisé qu'il faudra dériver cette fonction trois fois.
Ok hé bien allons y
Tu calcules phi ‘'' Tu trouves son signe et tu en déduis les variation de phi''. Et son signe
Ça te donnera les variations et le signe de phi'
S
Qui te donnera les variations et le signe de phi
Que vaut phi ‘'' ?
Alors, voici ce que j'ai écris:
Dans l'intervalle ] − ∞; 0[, elle est négative, puis vaut 0 lorsque x vaut 0 et de ]0; ∞[, elle est positive.
Donc phi'' de ] − ∞; 0[ est décroissante et de ]0; ∞[, elle est croissante.
Son signe est toujours positif car 0 est le minimum local (si l'on calcule, on obtient phi''(0)=-1+exp(0)-0
phi''(0)=-1+1+0
phi''(0)=0
Vu que phi'' est toujours positive, phi' est croissante
Son signe est négatif, puis positif car il s'agit une courbe croissante
Elle change de signe pour x=0 ici aussi
phi est décroissante, puis vaut 0 pour x=0 et deviens croissante.
Son signe est toujours positif vu que phi' est croissante
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