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Blocage fin d'un exercice de DM
Bonjour à toutes et à tous !
Je dois faire l'exercice suivant pour un DM mais je bloque sur la question 3.b., j'ai beau la tourner dans tous les sens, rien n'y fait !
Voici l'énoncé :
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Le but de l'exercice est de montrer, à l'aide des nombres complexes, qu'un triangle ABC, dans lequel le centre O du cercle circonscrit est aussi isobarycentre, est un triangle équilatéral.
On désigne par 
le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O ; 
; 
)
On note w le nombre complexe .
Si z est un nombre complexe, désigne le nombre complexe conjugué.
1. a. Mettre w et w² sous la forme 
+ 
i , avec et réels.
b. Montrer que 1 + w + w² = 0 et = w²
2. On cherche les nombres complexes z tels que :
(*) |z| = |1 + z| = 1
a. Montrer que w satisfait aux conditions (*).
b. Montrer que pour un nombre z = x + iy, avec x et y réels, vérifiant les conditions (*), on a x = -.
En déduire que w et sont les seuls nombres complexes satisfaisant aux conditions (*).
3. Soient A, B et C trois points du cercle 
du plan de centre O et de rayon R > 0. On suppose que O est l'isobarycentre des points A, B et C, c'est-à-dire que :
+
+
=
On note a l'affixe de A, b l'affixe de B, c l'affixe de C ; et on pose p = , q =
.
a. Montrer que |p| = |q| = 1 et 1 + p = -q.
(La question qui me bloque : ) b. Montrer à l'aide du 2.b. que l'on a soit p = w, soit p = .
Dans ce qui suit on supposera que p = w
c. Montrer , à l'aide de 1. que q = w² = .
d. Montrer que b - a = (w - 1)a , c - b = (w - 1 )b et c - a = ( - 1)a. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
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J'ai réussi à tout faire jusqu'au 3.b., demandez-moi si vous voulez que je vous donne le développement d'une des question, car il me semble assez fastidieux de rédiger toutes les réponses et je ne suis pas sur que les modérateurs apprécient un article trop long.
J'espère que les formule LaTeX sont bien passées, je viens à peine de m'y mettre, il fallait bien écrire que j'écrive ou encore
(la fraction est bien
, attention à ne pas confondre ne pas confondre le
avec un
par exemple !)
Un grand merci d'avance pour votre "éclairage" (je rappelle que je demande un coup de pouce et pas la réponse telle quelle, car ça n'a aucun intérêt 
).
Pima.
du 2.b/ on a établi que :
|z| = |z+1| = 1 <=> z = w ou z = wbar
au 3.a/ on a établi que |p| = |q| = 1 et 1 + p = -q.
et donc que |p + 1| = |-q| = |q| = 1
et donc que |q + 1| = |-p| = |p| = 1
au 3.b/ :
|p| = |p + 1| = 1 => p = w ou p = wbar
|q| = |q + 1| = 1 => q = w ou q = wbar
...
Ah effectivement vu comme ça c'est plus simple ^^
Je suis allé chercher plus compliqué que ça ne l'était, enfin je ne pensais pas qu'on puisse mettre que comme 1+p=-q, |1+p|=|-q|.
Un grand merci pour votre réponse.
Je mettrai probablement en ligne la fin de l'exercice si j'ai le temps.
Merci encore.
Bonne continuation.
Pima.
Je suis re-coincé ! ^^
Enfin d'abord ce que j'ai fait avant d'être bloqué :
3.b. On a |p| = |q| = 1 et 1 + p = -q
Soit |1+p| = |-q| 
|1+p| = |q| = 1
Donc on a bien |q| = |1+p| = |1|
Or d'après 2.b. le nombres complexes z tels que |z| = |1+z| = 1 sont les nombres compexes w et wbar.
Donc soit p = w, soit p = wbar.
c.On a 1 + q = -p
Soit |1+q| = |-p| = |p| = 1
et |q| = 1 d'après le 3.a.
q satisfait aux conditions (*), donc q = wbar (car p = w) et d'après 1.b. wbar = w².
Donc q = wbar = w²
d. // (w-1)a = a w - a = ap - a = b-a.
// (wbar-1)a = a wbar - a = aq - a = c-a.
Je bloque sur c - b = (w - 1 )b =/
Pouvez-vous m'éclairer ? Merci encore.
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