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Blocage géométrique!!!

Posté par So (invité) 12-05-03 à 15:22

Cherche une aide précieuse, je passe mon concours pour être^professeur
des écoles dans48 heures. Je bloque toujours sur ce problème de géométrie,
j'aimerais que quelqu'un m'éclaire à ce sujet m'évitant
ainsi d'angoisser davantage. Merciiiiiii !!!!!

1) Soit O le centre du parallélogramme ABCD. Soit E le symétrique
de D par rapport à A. Soit F le point d'intersection des droites

(AB) et (OE).  
Démontrer que AF=1/3 AB (on pourra utiliser le triangle BDE).  

2) La parallèle à (BD) passant par F coupe la droite (AC) en I et la

droite (AD) en H.  
  Calciler les rapports AH/AD et AI/AC.  

3) Soit R le point de la demi-droite AB tel que AR=4/3 AB.  
     Soit S le point de la demi-droite AC tel que AS=4/3 AC.  
     Soit T le point de la demi-droite AD tel que AT= 4/3 AD.  

Placer R, S, T à la règle non graduée et au compas en explicitant le procédé
utilisé.  
Quelle est la nature du quadrilatère ARST?  
Exprimer l'aire du quadrilatère ARST en fonction de l'aire du parallélogramme
ABCD.  

Posté par (invité)re : Blocage géométrique!!! 12-05-03 à 16:46

1) Triangle BDE : DO = OB <==> AO médiane , DA=AE <==> BA médiane
Donc F = intersection des médianes ===> AF=AB/3 , OF=OE/3
2) HF || BD ==> Thalès : AH/AD = AF/AB = 1/3
IF || OB ===> Thalès : AI/AO = AF/AB = 1/3
Mais AO = AC/2 ===> AI/(AC/2) = 1/3 ===> AI/AC = 1/6
3) AR = (4/3)*AB ===> BR = AR-AB = AB/3 = AF
AS = (4/3)*AC ===> CS  = AS-AC = AC/3 = 2*AI
AD = (4/3)*AD ===> DT = AT_AD = AD/3 = AH
La construction des R,S,T est immédiate
4) AB/AR = AC/AS = 4/3 ===> BC || RS
AD/AT = AC/AS = 4/3 ===> CD || ST
Donc ARST = parallélogramme
Ensuite aire(ARS) /aire(ABC) = AR*AS/(AB*AC) = 16/9
Pareil pour AST,ACD ... etc ...
Ensuite aire(ARST) = aire(ARS)+aire(AST) = ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Blocage géométrique!!! 12-05-03 à 17:08

1)
Dans le triangle BDE, EO est une médiane et BA aussi.
Le point de rencontre des médianes d'un triangle est le centre
de gravité du triangle ->
F est le centre de gravité du triangle BDE.
Le centre de gravité d'un triangle se trouve sur les médianes à
une longueur = (2/3) des médianes mesuré à partir des sommets.
-> |FB| = (2/3).|AB|
|AF| = |AB| - |FB|
|AF| = |AB| - (2/3)|AB|
|AF| = (1/3).|AB|
-----
2)
Les triangles HFE et DOE sont semblables ->
|EF|/|EO| = |EH|/|ED|

|EF| = (2/3) |EO|  car F est le centre de gravité du triangle BDE.
|EF|/|EO| = 2/3

-> |EH|/|ED| = 2/3

|ED| = 2|AD| puisque E est le symétrique de D par rapport à A.

|EH| / (2.|AD|) = 2/3
et
|EH| = |EA| + |AH|
->
(|EA|+|AH|) / (2.|AD|) = 2/3
(|EA|+|AH|) / |AD| = 4/3
(|AD|+|AH|) / |AD| = 4/3
1 + (|AH|/|AD|) = 4/3
|AH|/|AD| = 1/3
---
Les triangles AIH et AOD sont semblables ->
|AI|/|AO| = |AH|/|AD|
-> |AI|/|AO| = (1/3)
|AO|=(1/2).|AC|  (les diagonles d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux).

2|AI|/|AC| = (1/3)
|AI|/|AC| = 1/6
-----
3)
De ce qui précède, on sait que |AF| = (1/3).|AB|
Or |BR| = |AR| - |AB| = (4/3).|AB| - |AB| = (1/3).|AB|.
->
|BR| = |AF|.
Comme AF est connu, on peut, en reportant sa longueur aprés le point B
et prolongeant [AB], trouver le point R.

De même comme |DT| = |AH|, on trouve H aisément.
de même comme |CS| = 2.|AI|, on trouve S aisément.

ARST est un parallélogramme.

Aire(ARST) = Aire(ABCD) * (|AS|/|AC|)²
Aire(ARST) = Aire(ABCD) * (4/3)²
Aire(ARST) = (16/9).Aire(ABCD)
--------------
Sauf distraction, je n'ai rien relu.

Posté par So (invité)re : Blocage géométrique!!! 12-05-03 à 20:00

Un énorme merci à vous deux!!!!



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