Bon nageur

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Bon nageur
Posté par 
Sylvieg   05-03-20 à 11:27
Bonjour, 

Un exercice copié sur  Maths énigme 

L'intéressé s'est désinscrit en moins de 4 minutes après avoir posté. Dommage car intéressant :

Bob est au point B au bord de la rivière et Alice est au point A sur l'autre rive. 

Bob veut la rejoindre en un minimum de temps, il décide de nager en ligne droite (obliquement) jusqu'au point C de l'autre rive, à partir duquel il se met a courir vers Alice. 

Il n'y a pas de courant et Bob court 5 fois plus vite qu'il ne nage.

En quel point C doit il accoster pour que le trajet dure le moins longtemps possible ? 

On sait que d'une rive à l'autre il y a 50m. 

Vous pouvez blanker 
 Posté par 
sanantonio312re : Bon nageur  05-03-20 à 11:46
Bonjour et merci pour l'exercice

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Un premier calcul me donne un résultat indépendant de la distance AC

Je trouve que la distance cotée "?" vaut 25/6 mètres
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  05-03-20 à 11:55
sympa 

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c'est amusant, on trouve un résultat ne dépendant pas de la distance entre B', le projeté de B, et A...

cela semblerait donner B'C = 256 / 6 mètres

sauf erreur 
 Posté par 
sanantonio312re : Bon nageur  05-03-20 à 12:12
Bonjour matheuxmatou,

Pareil! 
 Posté par 
Sylvieg re : Bon nageur  05-03-20 à 12:26
Bravo à tous les deux mais
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Si la distance entre B' et A est 5 mètres ?

Avec B' projeté de B sur l'autre rive.
 Posté par 
mathafou re : Bon nageur  05-03-20 à 13:11
Bonjour, 

sans calcul, ou presque.

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la preuve que ça ne dépend pas de AC par la physique :

le trajet d'un  rayon lumineux est tel que le temps de trajet de ce rayon soit minimal

("principe de Fermat")

or la vitesse de la lumière dans un matériau est inversement proportionnelle à l'indice de réfraction de ce milieu (définition ou presque)

le problème est donc équivalent à la recherche de l'angle de réfraction  limite en passant d'un milieu d'indice 5 (la rivière) au milieu d'indice 1 (la terre)

(inversement  proportionnelle)

une fois qu'on a atteint ainsi le point C , la suite de la trajectoire CA est le long de la rive quel quel que soit l'emplacement de A. (du mpment qu'il est "à droite" de C)

les lois de la réfraction (Descartes) donnent   

n1 sin(i1) = n2 sin(i2)

c'est à dire 5 sin(CBB' ) = sin(90°) 

et l'angle CBB' = arcsin(1/5) ≈ 11.54°

et CB' = 50 tan(CBB') ≈ 10.20m

tan α = sin α / (1-sin² α ) donne la valeur exacte déja citée

évidemment la démonstration de ce principe de physique passe par la recherche effective du temps minimal par des dérivées, mais ça a été fait "une fois pour toutes" et il est inutile de le refaire 

(sauf pour donner prétexte à un exo de lycée   )
 Posté par 
lakere : Bon nageur  05-03-20 à 13:12
Bonjour, à tous,

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Même problème que celui invoqué par Sylvieg lorsque le coefficient multiplicateur des vitesses tend vers 1.

 J'avais vu passer cet exo, l'avais résolu avec le ; j'avais, dans un premier temps été surpris: le point  pouvait se trouver (presque) n'importe où 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  05-03-20 à 16:30
Sylvieg

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il semblerait que si B'A < 25/6 , le plus court en temps est atteint pour C=A
 Posté par 
Sylvieg re : Bon nageur  05-03-20 à 16:44
@matheuxmatou,
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C'est un peu plus que "semblerait", c'est franchement certain 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  05-03-20 à 17:06
dommage que je n'enseigne plus... ils y auraient eu droit ! 

merci Sylvieg
 Posté par 
dpire : Bon nageur  05-03-20 à 17:18
Bonjour,

Et merci d'animer.

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Le dessin donne une intuition fausse:

Bob (sans courant ) à intérêt à nager  51 m .

Soit  à    (2601-2500) m en aval de A'  (opposé à A)

soit environ 10.05
 Posté par 
dpire : Bon nageur  05-03-20 à 17:43
suite

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51 m --- à 3 1 mm près  (c'est la vaguelette 
 Posté par 
mathafou re : Bon nageur  06-03-20 à 11:42
Bonjour dpi

vérifie tes noms de points qui ne sont pas ceux de l'énoncé, rendant ta réponse incompréhensible .
 Posté par 
dpire : Bon nageur  06-03-20 à 14:54
Pour les puristes ?

J'ai mis A ' au lieu de B' (pointillé)  

 Posté par 
dpire : Bon nageur  06-03-20 à 15:34
>Sylvieg

Apparemment ,il y a 3 façons de répondre:

1/ se souvenir de la réfraction de Snell-Descartes  qui est

certainement la plus élégante.

2/se souvenir de 25/6 dans ce cas de figure

3/chercher méthode bourrin  .perso  je trouve 51.031 m pour BC en

me contentant de 3 décimales ,mais je peux faire pire.....
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  06-03-20 à 15:41
ce joli petit problème m'inspire une suite...

et si on a un courant (de B' vers A) de vitesse v/2 ?

Quel cap (a) doit maintenir notre nageur dans sa traversée pour gagner A le plus vite possible ? et à quelle distance (x) du projeté B' accostera-t-il ?

 Posté par 
dpire : Bon nageur  06-03-20 à 16:41
Bonjour matheumatou

C'est ce que je craignais dans celle de Sylvieg 

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Si je ne m'abuse le meilleur cap est 57.653 °
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  06-03-20 à 18:19
dpi

je n'ai pas pu m'empêcher ! 

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ce n'est pas ce que je trouve mais j'ai fait ça un peu vite...

je re-vérifie... 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  06-03-20 à 18:37
me suis gouré sur la figure à 15:41

la distance B'A supérieure à 60 mètres....
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  06-03-20 à 19:32
dpi

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j'ai repris mes calculs et je ne suis pas dut tout d'accord avec l'angle que tu as trouvé ... 

et une valeur exacte serait utile... 
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 11:13
Bonjour matheuxmatou,

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J'ai pu me tromper mais j'obtiens un angle  obtus; j'ai repris les calculs plusieurs fois et toujours cette "marche arrière" . Je conçois que ce soit possible mais est-ce bien le cas ?

 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  07-03-20 à 11:16
lake

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En ce qui me concerne je trouve un angle aigu... mais j'ai pu me tromper !

tu peux donner ta démonstration ?
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 15:43
>>matheuxmatou,

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J'ai tout repris autrement; je tombe sur un angle aigu, mais quand je vois ceci:

Citation :
...et une valeur exacte serait utile... 

  j'ai des doutes sur mes résultats.  Doit-on comprendre que le cap est une valeur bien particulière? Ce n'est pas mon cas: j'ai encore du me planter...

 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  07-03-20 à 16:18
lake

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quand je dis une "valeur exacte" je parle du x... pour le cap cela peut être un arccosinus par exemple 

tu trouves combien pour le cap en valeur approchée ?
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 16:29
matheuxmatou,

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Pour le cap une valeur approchée en degrés décimaux: 77.804

Mais à vrai dire, je ne suis plus sûr de rien... 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  07-03-20 à 16:32
lake

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moi je trouve a=arccos(2/9)77,16°
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 16:33
Bon, je crois que je vais faire une pause 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  07-03-20 à 16:35
mais j'ai pu me gourer aussi 
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 16:53
Non, non, je viens de trouver mon erreur (que j'ai consciencieusement refaite plusieurs fois) :

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Avec une fonction dérivée: 

Puis 

 On pourra dire que j'ai cafouillé.. 

 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  07-03-20 à 17:08
lake

je suis d'accord 
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 17:31
Merci matheuxmatou pour cet exercice; avec mon angle obtus, j'étais carrément ... à l'Ouest 

Ensuite une bête erreur de calcul que j'ai mis un temps fou à repérer 
 Posté par 
carpediemre : Bon nageur  07-03-20 à 19:50
il vaut mieux un angle obtus qu' un lake obtus ... 
 Posté par 
lakere : Bon nageur  07-03-20 à 21:41
lakobtus, c'est certain. Mais l'essentiel n'est-il pas de participer ?
 Posté par 
carpediemre : Bon nageur  07-03-20 à 22:02
tout à fait ... et ce quelles que soient les bêtises que nous "commettons" de temps en temps ...

tout comme toi combien de fois ai-je fait "consciencieusement" la même bêtise dans un calcul un peu long ... ou garder une même idée fixe fausse (du à un préjugé "épistémologique" trop souvent)

mais c'est cet effort qui nous a permis d'avancer et de se dépasser !!!

 Posté par 
dpire : Bon nageur  08-03-20 à 08:04
Bon dimanche,

Je n'ai pas compris la variante matheuxmatou

Si je comprends bien l'angle a définit la vrai route de Bob .

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Si cet angle fait 77.1604116 ° comment est-il possible que x soit supérieur au x de Sylvieg ?
 Posté par 
lakere : Bon nageur  08-03-20 à 10:21
Bonjour dpi,

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Un dessin:

Le trajet  est déterminé par le vecteur rouge  qui est la somme vectorielle des vecteurs bleus. On peut montrer que:

 -  et 

  - 

  -  avec:

Si bien que notre temps de parcours ne dépend plus que de la variable 

Reste à étudier les variations de 
 Posté par 
dpire : Bon nageur  08-03-20 à 10:28
Merci  lake

J'ai fait à l'envers en considérant  que a  était la résultante 
 Posté par 
matheuxmatoure : Bon nageur  08-03-20 à 10:46
lake

merci pour ce superbe dessin explicatif 

dpi

l'angle définit le cap, comme pour un bateau muni d'un compas de navigation, et il est supérieur puisque le nageur est "porté" par le courant

mon approche est légèrement différente de celle de Lake mais revient évidemment au même...

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En décomposant les vitesses en composantes normale et tangentielles :

avec a  ]0 ; [

la durée de la traversée est :

le décalage en x est donc :

et la durée totale du parcours :

reste à dériver pour trouver le minimum atteint pour a=arccos(2/9)

 Posté par 
dpire : Bon nageur  08-03-20 à 15:44
Fidèle à ma méthode bourrin 

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J'ai taté  l'angle  de la nage en supposant qu'il était la résultante de 1 et 1/2 et trouvé  53.47°
 Posté par 
lakere : Bon nageur  09-03-20 à 14:06
Bonjour dpi,

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 "Tâté ... ", ce n'est pas très clair mais en tout cas, la formule de 10h21 :

Citation :
 
  colle avec ton résultat.

Je ne suis pas sûr qu'il faille encore blanker mais bon ....

 Posté par 
dpire : Bon nageur  09-03-20 à 16:29
Bonjour lake

Je blanke  pour éviter le ridicule.

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Je suis parti de l'idée que la résultante des vitesses était de l'ordre de 1.25  ce qui avec Al-kashi me donnait   71.79°  et 49.46 °.

la meilleure performance est donnée pour 1.213335

77 °16  et  53 °47.

Bien sûr je peux toujours affiner mais  je ne peux que m'incliner devant vos calculs exacts 
  Posté par 
lakere : Bon nageur  11-03-20 à 15:13
Citation :
Je suis parti de l'idée que la résultante des vitesses était de l'ordre de 1.25 ....

 ... la meilleure performance est donnée pour 1.213335

J'ai fini par comprendre qu'il s'agissait, avec mes notations, du rapport