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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Borélien

Posté par
tomsoyer
27-03-21 à 15:16

Bonjour,

Si on se fixe deux variables aléatoires indépendantes, X_1 et X_2 de loi exponentielle de paramètres positifs sur un espace probabilisé.
Pourquoi l'ensemble \{x : X_1(x)=\min(X_1(x),X_2(x))\} est-il borélien ?

Posté par
tomsoyer
re : Borélien 27-03-21 à 15:22

Oh veuillez-m 'excuser, le mot ne serait pas borélien mais plutôt, en notant l'espace probabilisé (E,T,P), pourquoi l'ensemble \{x \in E: X_1(x)=min(X_1(x),X_2(x))\} \in T ?

Posté par
DOMOREA
Borélien 27-03-21 à 16:50

bonjour,
si on note \lambda_i=\frac{1}{E(X_i)}  
on appelle a l'unique solution de X_1(t)=X_2(t)   détermine a et regarde à quoi  correspond ton ensemble  selon que  \lambda_1<\lambda_2 ou \lambda_2<\lambda_1

Posté par
tomsoyer
re : Borélien 27-03-21 à 17:50

Merci pour votre réponse.

Je crains être dans la confusion ; Nous ne connaissons pas réellement X_1 et X_2 n'est-ce pas ? mais seulement leurs densités, fonctions de répartitions... ?
Donc, comment déterminer a ?

Permettez-moi une autre question en lien avec le sujet. Quand nous disons que X est une variable aléatoire de loi exponentielle sur l'espace probabilisé (E,T,P), alors E est forcément un intervalle inclut ou égal à [0,+\infty[ et T un ensemble borélien de cet intervalle ?

Posté par
DOMOREA
Borélien 27-03-21 à 22:43

bonjour, De quoi parles-tu?

ce sont des lois exponentielles, personnellement je ne connais que la loi de paramètre \lambda définie sur [0,+\infty[ et dont la fonction de densité est f(t)=\lambda e^{-\lambda t}

tu ne sais pas résoudre l'équation en t    \lambda_1e^{-\lambda_1 t}=\lambda_2e^{-\lambda_2 t}

reprend la définition d'un Borélien
Dans \mathbb{R} les intervalles sont des Boreliens

Posté par
tomsoyer
re : Borélien 28-03-21 à 13:37

Bonjour,

Je connais la définition d'un borélien ; simplement l'entièreté de ma question semble être sur la définition de la loi exponentielles.
En effet, je suis bien d'accord que X_1 admet pour densité f(t)=\lambda e^{\lambda t}. Cependant, si je comprends bien votre message, je ne suis pas sûr que l'application X_1=f.

De plus, X_1 est une application de E dans \mathbb{R}.
Ainsi, quand nous disons  que X_1 suit une loi exponentielle, est-ce que cela fixe E ?
Je crois que le gros de ma question réside entre le lien entre la densité et la variable aléatoire.

Posté par
tomsoyer
re : Borélien 28-03-21 à 13:39

*f(t)=\lambda e^{-\lambda t} pour lambda strictement positif.

Posté par
GBZM
re : Borélien 28-03-21 à 13:55

Bonjour,

Remettons les choses d'aplomb. Il n'y a aucune raison pour que l'univers E sur lequel la variable aléatoire est définie soit un intervalle de \R.

Rappelons qu'une variable aléatoire réelle X sur E est une fonction mesurable de l'espace probabilisé (E,T,P) dans \R muni de la tribu des boréliens.  Ceci veut dire que pour tout intervalle réel I, X^{-1}(I) appartient à la tribu T.
Si on demande que X ait une loi exponentielle, cela impose bien sûr des contraintes sur l'espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle ne peut pas vivre sur n'importe quel espace probabilisé. Un exemple stupide : E ne peut pas être fini.

Ceci étant précisé, revenons à la question : si X_1,X_2 sont des variables aléatoires réelles sur un même espace probabilisé, est-ce que l'ensemble des e\in E tels que X_1(e)\leq X_2(e) appartient à la tribu T ?
Ça se démontre facilement en se souvenant que X_1 et X_2 sont mesurables et que, pour tous réels x_1,x_2, il y a équivalence entre x_1\leq x_2 et "pour tout rationnel r, x_1\leq r ou r<x_2".

Posté par
tomsoyer
re : Borélien 28-03-21 à 14:28

Je ne sais comment vous remercier monsieur GBZM pour votre explication d'une si grande clarté ; j'eus été sans que j'aurai eu besoin de nombreux jours pour pouvoir arriver à cette compréhension.

Merci à vous aussi DOMOREA de m'avoir permis de me poser ces questions.



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