Bonjour à tous,
j'ai un exercice qui se présente comme cela :
"Calculer la borne de Cramer-Rao pour la famille où 2 est inconnu, et montrer que l'estimateur naturel de la variance est efficace."
En réalité, l'exercice se décomposait en deux parties : l'un où la variance était fixée avec une moyenne m inconnue et dans ce cas j'ai pu calculer la borne de Cramer-Rao et montrer que la moyenne empirique était efficace. Seulement ici, j'ai beaucoup de mal à montrer que mon estimateur est efficace.
Tout d'abord, j'ai calculé la borne, sauf erreur de calcul (et je doute pas un instant qu'il y ait une erreur) on trouve :
L'estimateur de la variance doit être sans biais, donc comme dans l'énoncé il parle d'un "estimateur naturel", j'ai pensé à
puisqu'il doit être sans biais pour parler de borne de Cramer-Rao (du moins dans mon cours). Mais là, impossible de vérifier que la variance est bien égale à la borne, les calculs à effectuer sont affreux (en particulier, on trouve de l'espérance de la puissance 4 de la moyenne empirique...). Je ne sais pas si je m'y prends mal, mais y a-t-il un moyen efficace pour calculer la variance de Vn ?
Merci d'avance.
Bonsoir,
je pense m'être plus ou moins débloqué. J'ai pu montrer avec le théorème de Cochran que
suit une loi du , donc c'est une loi gamma. Je vais voir si je ne peux pas calculer ma variance avec ça. Je ne suis pas contre une intervention si quelqu'un a quelque chose de plus astucieux !
Dernière intervention pour ce soir :
j'ai fait une faute de frappe tout d'abord,
puis en utilisant le fait que , je pense avoir trouvé (en utilisant la fonction génératrice des moments d'une loi Gamma) que
Puisque je n'ai pas égalité de la variance avec la borne, je suppose que je me suis trompé quelque part, je reprends demain.
Bonne soirée.
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