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Niveau Master Maths
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Borne de Cramer-Rao pour modèle Gaussien m=0

Posté par
Rintaro
14-10-21 à 17:24

Bonjour à tous,

j'ai un exercice qui se présente comme cela :

"Calculer la borne de Cramer-Rao pour la famille \mathcal{N}(0,\sigma^2)2 est inconnu, et montrer que l'estimateur naturel de la variance est efficace."

En réalité, l'exercice se décomposait en deux parties : l'un où la variance était fixée avec une moyenne m inconnue et dans ce cas j'ai pu calculer la borne de Cramer-Rao et montrer que la moyenne empirique était efficace. Seulement ici, j'ai beaucoup de mal à montrer que mon estimateur est efficace.

Tout d'abord, j'ai calculé la borne, sauf erreur de calcul (et je doute pas un instant qu'il y ait une erreur) on trouve :

\mathcal{K}_n (\sigma^2) = \dfrac{2\sigma^4}{9}

L'estimateur de la variance doit être sans biais, donc comme dans l'énoncé il parle d'un "estimateur naturel", j'ai pensé à

V_n = \dfrac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n \big( X_i - \overline{X_n} \big)^2 = \dfrac{n}{n-1} \big( \overline{X_n^2} - (\overline{X_n})^2 \big)

puisqu'il doit être sans biais pour parler de borne de Cramer-Rao (du moins dans mon cours). Mais là, impossible de vérifier que la variance est bien égale à la borne, les calculs à effectuer sont affreux (en particulier, on trouve de l'espérance de la puissance 4 de la moyenne empirique...). Je ne sais pas si je m'y prends mal, mais y a-t-il un moyen efficace pour calculer la variance de Vn ?

Merci d'avance.

Posté par
Rintaro
re : Borne de Cramer-Rao pour modèle Gaussien m=0 14-10-21 à 18:11

Bonsoir,

je pense m'être plus ou moins débloqué. J'ai pu montrer avec le théorème de Cochran que

\dfrac{(n-1)}{\sigma^2}V_n

suit une loi du \chi^2_{n-1}, donc c'est une loi gamma. Je vais voir si je ne peux pas calculer ma variance avec ça. Je ne suis pas contre une intervention si quelqu'un a quelque chose de plus astucieux !

Posté par
Rintaro
re : Borne de Cramer-Rao pour modèle Gaussien m=0 14-10-21 à 19:00

Dernière intervention pour ce soir :

j'ai fait une faute de frappe tout d'abord,

\mathcal{K}_n(\sigma^2) = \dfrac{2\sigma^4}{9}

puis en utilisant le fait que V_n~ \overset{Loi}{=} ~~ \Gamma\Big(\dfrac{n-1}{2},\dfrac{\sigma^2}{2(n-1)}\Big), je pense avoir trouvé (en utilisant la fonction génératrice des moments d'une loi Gamma) que

Var(V_n) = \sigma^2(1-\dfrac{n+1}{n-1}\sigma^2)

Puisque je n'ai pas égalité de la variance avec la borne, je suppose que je me suis trompé quelque part, je reprends demain.

Bonne soirée.



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