Salut salut......
me revoilà avec une nouvelle difficulté
en cour le prof lors d'une démonstration à écris une implication un peu flou à mon avis dont il n'a apporté aucune justification
en effet on considère l'existence d'une familleAi iI ( I quelconque ) d'intervalle fermé de IR et un réel xIR
si on suppose que x <infAi
peut on affirmer qu'il existe j tel que x <inf Aj?
voilà en fait l'affirmation dont il est question.
j'aimerais avoir un meilleure éclairage concernant cela
merci
Bonjour,
si A est un fermé de et que A est minoré alors inf(A) est un élément de A.
Ce qui permet de conclure.
En effet mon indication n'est pas très utile.
Pour une démonstration on peut utiliser la contraposée : si alors
Bonjour,
Voici une proposition.
Il y a peut être plus simple.
Comme inf(Ai) existe alors Ai est non vide et il existe au moins un i dans I tel que inf(Ai) existe.
Soit J la partie de I pour laquelle inf(Aj) existe.
La famille inf(Aj) est majorée car sinon Ai serait vide.
Il s'agit d'une partie majorée dans donc admet une borne sup que l'on note L.
On a donc jJ, inf(Aj)L.
De plus soit K, la partie de I pour laquelle sup(Ak) existe. Supposons qu'il existe un k dans K tel que sup(Ak)<L.
Alors par définition de la borne sup, il existe un j dans J tel que sup(Ak)<inf(Aj)L ce qui est contradictoire avec le fait que Ai soit non vide.
On en déduit que LAi
On en déduit que si x<inf(Ai) alors x<L et d après la définition de la borne sup, il existe un i dans J et donc dans I tel que x<inf(Ai)
J espère ne pas m être emmêlé et peut être que j'ai utilisé un marteau pour écraser une mouche : )
On suppose que l'intersection de la famille est non vide et minorée (sinon le problème posé n'a pas de sens).
Comme les sont des intervalles fermés, leur intersection est un intervalle fermé. Soit I cet intervalle et .
Si , alors par définition il existe un tel que .
Comme est un intervalle fermé qui contient I et pas x, il existe un tel que et .
Par suite .
Ce que l'on voulait.
Corollaire :
On pose . Alors :
Si on pose :
, ainsi on a car ce sont des fermés.
Puisque , on a , il existe donc tel que et puisque , on a le cas est à exclure puisque l'on aurait :
donc serait un majorant de , par conséquent on est donc face à une contradiction
Hello,
C est plus rapide que ma méthode : )
Par contre dire que l intersection de fermés donne un fermé, c est plus une propriété qu'une affirmation immédiate ?
Dans le cas de l union par exemple, on peut avoir des unions de fermé qui donnent des ouverts ?
Je pense par exemple à l union des Ai=[0 ; 1-1/i] pour dans N*
Je suppose que sup de cette union est 1, par contre je suppose aussi que 1 n'appartient pas à cette union.
Salut
Pour le cas de l'union :
Il me semble que est un fermé ssi est un ouvert (définition d'un fermé) or l'intersection d'ouverts est un ouvert dès lors est un ouvert ainsi est un fermé.
Bonne question,
Est ce que l intersection d ouverts est un ouvert ?
Toujours sur le même principe, est ce que l intersection des Ai=[0 ; 1+1/i[ ne serait pas un fermé ?
Bonjour GxD
Non, je me trompe, pour le cas de l'union de fermé, c'est un fermé si et seulement si c'est une famille finie de fermés.
Pour le cas de l'intersection de fermés c'est un fermé si la famille de fermés est finie ou infinie.
mon message de 9:30 est valable seulement si est finie.
Ce qui nous intéresse est : est-il un fermé avec finie ou infinie?
sont des ouverts donc est un ouvert (simple de trouver une boule ouverte) , donc son complément est un fermé.
c'est de la topologie de base : une intersection quelconque de fermés est toujours fermée.
On a également ceci : toute réunion d'une famille localement finie de fermés est fermée.
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