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Niveau Maths sup
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borne inf

Posté par
Nyadis
11-11-19 à 03:09

Salut salut......

me revoilà avec une nouvelle difficulté

en cour le prof lors d'une démonstration à écris une implication un peu flou à mon avis dont il n'a apporté aucune justification

en effet on considère l'existence d'une familleAi  iI ( I quelconque ) d'intervalle fermé de IR et un réel xIR

si on suppose que x <infAi
peut on affirmer qu'il existe j tel que x <inf Aj?

voilà en fait l'affirmation dont il est question.

j'aimerais avoir un meilleure éclairage concernant cela
merci

Posté par
verdurin
re : borne inf 11-11-19 à 09:14

Bonjour,
si A est un fermé de \R et que A est minoré alors inf(A) est un élément de A.
Ce qui permet de conclure.

Posté par
Nyadis
re : borne inf 11-11-19 à 14:20

verdurin @ 11-11-2019 à 09:14

Bonjour,
si A est un fermé de \R et que A est minoré alors inf(A) est un élément de A.
Ce qui permet de conclure.


je ne vois pas en quoi cela permet de conclur

Posté par
verdurin
re : borne inf 11-11-19 à 19:13

En effet mon indication n'est pas très utile.

Pour une démonstration on peut utiliser la contraposée : si \forall i\in I\ x\geqslant \inf(A_i) alors x\geqslant\inf\Bigl(\Bigcap_{i\in I} A_i\Bigr)

Posté par
Nyadis
re : borne inf 12-11-19 à 06:20

verdurin @ 11-11-2019 à 19:13

En effet mon indication n'est pas très utile.

Pour une démonstration on peut utiliser la contraposée : si \forall i\in I\ x\geqslant \inf(A_i) alors x\geqslant\inf\Bigl(\Bigcap_{i\in I} A_i\Bigr)


je vois pas comment avancer et même bouger

Posté par
GxD
re : borne inf 12-11-19 à 17:47

Bonjour,
Voici une proposition.
Il y a peut être plus simple.

Comme inf(Ai) existe alors Ai est non vide et il existe au moins un i dans I tel que inf(Ai) existe.
Soit J la partie de I pour laquelle inf(Aj) existe.
La famille inf(Aj) est majorée car sinon  Ai serait vide.

Il s'agit d'une partie majorée dans donc admet une borne sup que l'on note L.
On a donc jJ, inf(Aj)L.

De plus soit K, la partie de I pour laquelle sup(Ak) existe. Supposons qu'il existe un k dans K tel que sup(Ak)<L.
Alors par définition de la borne sup, il existe un j dans J tel que sup(Ak)<inf(Aj)L ce qui est contradictoire avec le fait que Ai soit non vide.


On en déduit que LAi

On en déduit que si x<inf(Ai) alors x<L et d après la définition de la borne sup, il existe un i dans J et donc dans I tel que x<inf(Ai)

J espère ne pas m être emmêlé et peut être que j'ai utilisé un marteau pour écraser une mouche  : )

Posté par
Nyadis
re : borne inf 12-11-19 à 23:12

GxD @ 12-11-2019 à 17:47

Bonjour,
Voici une proposition.
Il y a peut être plus simple.

Comme inf(Ai) existe alors Ai est non vide et il existe au moins un i dans I tel que inf(Ai) existe.
Soit J la partie de I pour laquelle inf(Aj) existe.
La famille inf(Aj) est majorée car sinon  Ai serait vide.

Il s'agit d'une partie majorée dans donc admet une borne sup que l'on note L.
On a donc jJ, inf(Aj)L.

De plus soit K, la partie de I pour laquelle sup(Ak) existe. Supposons qu'il existe un k dans K tel que sup(Ak)<L.
Alors par définition de la borne sup, il existe un j dans J tel que sup(Ak)<inf(Aj)L ce qui est contradictoire avec le fait que Ai soit non vide.


On en déduit que LAi

On en déduit que si x<inf(Ai) alors x<L et d après la définition de la borne sup, il existe un i dans J et donc dans I tel que x<inf(Ai)

J espère ne pas m être emmêlé et peut être que j'ai utilisé un marteau pour écraser une mouche  : )


   Très Propre. merci

Posté par
carpediem
re : borne inf 12-11-19 à 23:35

GxD @ 12-11-2019 à 17:47

Comme inf(Ai) existe alors Ai est non vide et il existe au moins un i dans I tel que inf(Ai) existe.
Soit J la partie de I pour laquelle inf(Aj) existe.
La famille inf(Aj) est majorée car sinon  Ai serait vide.

Il s'agit d'une partie majorée dans donc admet une borne sup que l'on note L.
On a donc jJ, inf(Aj)L.

De plus soit K, la partie de I pour laquelle sup(Ak) existe. Supposons qu'il existe un k dans K tel que sup(Ak)<L. et si K est vide ?
Alors par définition de la borne sup, il existe un j dans J tel que sup(Ak)<inf(Aj)L ce qui est contradictoire avec le fait que Ai soit non vide.


On en déduit que LAi

On en déduit que si x<inf(Ai) alors x<L et d après la définition de la borne sup, il existe un i dans J et donc dans I tel que x<inf(Ai)

J espère ne pas m être emmêlé et peut être que j'ai utilisé un marteau pour écraser une mouche  : )

Posté par
mousse42
re : borne inf 12-11-19 à 23:54

Salut

Si on pose A_1:=\{-2\}\cup[0,1] et A_2:=\{-3\}\cup [-1,0]

On a A_1\cap A_2 =\{0\}, avec x:=-1, on a bien : x<\inf A_1\cap A_2 mais on n'a pas x<\inf A_k

Enfin, il me semble....

Posté par
mousse42
re : borne inf 12-11-19 à 23:56

désolé, on demande un intervalle fermé,

Posté par
jsvdb
re : borne inf 13-11-19 à 00:31

On suppose que l'intersection de la famille (A_i)_{i\in I} est non vide et minorée (sinon le problème posé n'a pas de sens).
Comme les A_i sont des intervalles fermés, leur intersection est un intervalle fermé. Soit I cet intervalle et a = \inf I.
Si x < a, alors par définition il existe un p\in I tel que x \notin A_p.
Comme A_p est un intervalle fermé qui contient I et pas x, il existe un t > 0 tel que x+t\leq a et  A_p \subset [x+t,\infty[.
Par suite x < x+t\leq\inf A_p.
Ce que l'on voulait.

Corollaire :

On pose m_i = \inf A_i. Alors :

\inf \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)= \sup\{m_i~|~i\in I\}

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 01:10

Si on pose :

m:=\inf \bigcap_{i\in I}A_i, ainsi on a m\in \bigcap_{i\in I}A_i car ce sont des fermés.

Puisque x<m, on a x\notin \bigcap_{i\in I}A_i, il existe donc s\in I tel que x\notin A_s et puisque \inf A_s\in A_s, on a x<\inf A_s\le m le cas \inf A_s<x est à exclure puisque l'on aurait :

\inf A_s<x<m donc x serait un majorant de A_s, par conséquent m\notin A_s on est donc face à une contradiction

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 01:12

Salut jsvdb, je n'ai pas vu ton post

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 01:15

je m'applaudis :

Posté par
jsvdb
re : borne inf 13-11-19 à 01:21

Salut mousse, on n'est jamais mieux applaudi que par soit même

Posté par
GxD
re : borne inf 13-11-19 à 08:56

Hello,
C est plus rapide que ma méthode  : )
Par contre dire que l intersection de fermés donne un fermé, c est plus une propriété qu'une affirmation immédiate ?
Dans le cas de l union par exemple, on peut avoir des unions de fermé qui donnent des ouverts ?

Posté par
GxD
re : borne inf 13-11-19 à 09:21

Je pense par exemple à l union des Ai=[0 ; 1-1/i] pour dans N*
Je suppose que sup de cette union est 1, par contre je suppose aussi que 1 n'appartient pas à cette union.

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 09:30

Salut
Pour le cas de l'union :

Il me semble que F_i est un fermé ssi C_EF_i est un ouvert (définition d'un fermé) or l'intersection d'ouverts est un ouvert dès lors \bigcap C_EF_i est un ouvert ainsi C_E\left(\bigcap C_EF_i\right)=\bigcup F_i est un fermé.

Posté par
GxD
re : borne inf 13-11-19 à 09:42

Bonne question,
Est ce que l intersection d ouverts est un ouvert ?
Toujours sur le même principe, est ce que l intersection des Ai=[0 ; 1+1/i[ ne serait pas un fermé ?

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 09:47

Bonjour GxD

Non, je me trompe, pour le cas de l'union de fermé, c'est un fermé si et seulement si c'est une famille finie de fermés.

Pour le cas de l'intersection de fermés c'est un fermé si la  famille de fermés est finie  ou infinie.

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 09:51

GxD @ 13-11-2019 à 09:42

Bonne question,
Est ce que l intersection d ouverts est un ouvert ?
Toujours sur le même principe, est ce que l intersection des Ai=[0 ; 1+1/i[ ne serait pas un fermé ?


Si la famille d'ouverts n'est pas finie, on ne peut pas dire que l'intersection de ces ouverts est un ouvert

Posté par
mousse42
re : borne inf 13-11-19 à 10:00

mon message de 9:30 est valable seulement si Iest finie.


Ce qui nous intéresse est :\bigcap_{i\in I} F_i est-il un fermé avec  I finie ou infinie?

C_EF_i sont des ouverts donc \bigcup_{i\in I} C_EF_i est un ouvert (simple de trouver une boule ouverte) , donc son complément \bigcap_{i\in I}F_i est un fermé.

Posté par
jsvdb
re : borne inf 13-11-19 à 21:45

c'est de la topologie de base : une intersection quelconque de fermés est toujours fermée.

On a également  ceci : toute réunion d'une famille localement finie de fermés est fermée.

Posté par
Nyadis
re : borne inf 18-11-19 à 08:30

merci pour vos réponse



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