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borne inf

Posté par
eleve1 25-10-23 à 21:18

Bonjour,
A={(-1)^n -1/n^2, n ]
1. montrer que A est bornée.
2.déterminer la borne inf et la borne sup.
Voila ou je block, pour determiner la borne inf qui est -1 , j'ai procédé par disjonction de cas sur n (n pair et n impair). Or pour le cas ou n est impair j'arrive pas a caracteriser le espsiloncar à un moment j'arrive a 1/n^2< - epsilon.

Posté par
mousse42re : borne inf 26-10-23 à 00:52

Salut,
Si A=\left\{ (-1)^n-\dfrac{1}{n^2}  : \quad n\in\mathbb{N}^* \right\}, l'infimum n'est pas -1, tu peux vérifier avec n=1

Posté par
mousse42re : borne inf 26-10-23 à 01:19

Il te faut encadrer cette suite correctement (voir les théorèmes correspondants) :

(-1)^n= 1 ou (-1)^n= -1 donc  -1\le (-1)^n\le 1

Et 0\le \dfrac{1}{n^2}\le 1 par conséquent on a -1\le- \dfrac{1}{n^2}\le 0

-2\le(-1)^n - \dfrac{1}{n^2}\le 1

Il est facile de voir que -2 est un minorant, il te faut montrer que c'est le plus grand. Pour cela tu n'as pas besoin de la caractérisation de la borne inférieure. Sachant que -2 est bien placé, un ou deux arguments suffiront pour conclure.

Posté par
eleve1re : borne inf 26-10-23 à 18:50

Erreur de ma part, mercii!!
il me suffit de dire que -2 c'est le plus petit élément donc inf(A)=-2

Posté par
mousse42re : borne inf 26-10-23 à 20:07

non...je ne pense pas que ce soit un bon argument.

Posté par
mousse42re : borne inf 26-10-23 à 20:10

tu devrais utiliser les définitions d'un minorant et du plus grand des minorants

Posté par
mousse42re : borne inf 28-10-23 à 00:18

Pour conclure, j'aurais fait comme ceci :

nous savons que -2 est un minorant et aussi que -2\in A

Si -2 n'est pas le plus grand des minorants, on doit avoir :

-2<\inf A\le u_n ce qui est exclu puisque -2\in A  donc \inf A=-2

Posté par
carpediemre : borne inf 28-10-23 à 12:12

salut

je suivais ...

mais pourquoi compliquer ?

mousse42 @ 26-10-2023 à 01:19

-2\le(-1)^n - \dfrac{1}{n^2}\le 1
donc -2 est plus petit que tout élément de A et il appartient à A

-2 est le minimum de A donc la borne inférieure de A

PS: avoir un minimum est plus fort qu'avoir une borne inf puisque tout ensemble bornée possède une borne inf

Posté par
mousse42re : borne inf 28-10-23 à 17:37

oui, tu as raison .

Posté par
mousse42re : borne inf 28-10-23 à 17:39

Bonjour carpediem, ça m'a échappé. Je fais 10 choses à la fois


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