Borne inférieure de bornes supérieures...

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Borne inférieure de bornes supérieures...
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1 Schumi 1  17-11-07 à 09:40
Bonjour à tous, 

Un 'ti exo rigolo vu en TD (oui, je sais, ça fait pitié) mais je l'ai trouvé sympa celui-là.

Citation :

Soit . On note . Calculer  quand  décrit .

Question subsidaire: Etudier la continuité de  pour .

Bonne réflexion.

Ayoub.
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Camélia re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 15:02
Bonjour 

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Tu es sur? Si 0, A() n'existe pas!
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Ju007re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 15:03
Bonjour,

à mon avis il manque un sinus... non?
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1 Schumi 1re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 17:48
Il manque en effet un sinus (t'as fais comment pour deviner?) Il y a un sinus devant le n*a.

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Ju007re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 18:05
j'ai deviné grâce au fait que ça décrive ]0,Pi/2[ 

je vais y réfléchir...

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(à mon avis c'est Racine de (3)/2)
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1 Schumi 1re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 18:07
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Quelle intuition! 

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Ju007re : Borne inférieure de bornes supérieures...  17-11-07 à 19:25
Allez je me lance :

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Lemme :  

Preuve : Il s'agit d'une simple étude de fonction... 

Retour à l'exercice : On remarque tout d'abord que

d'où    

Ensuite on passe en revue deux possibilités pour 

 Soit 

et alors il existe tel que 

Donc d'après le lemme, 

 Soit 

et alors par croissance de sinus sur 

on a 

En définitive, il existe  tel que 

donc 

On en déduit 

Quant à la continuité... f n'est pas continue... du moins pas partout!

Un résultat célèbre est que  est dense dans [-1,1] si  est irrationnel...

Donc  pour  irrationnel.

Donc si on prend une suite  tendant vers  avec  irrationnel,

on aura  

A n'est pas continue en . On peut par contre montrer que A est continue en  ou  (joyeux ) avec a irrationnel...

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monrow re : Borne inférieure de bornes supérieures...  18-11-07 à 00:32
Ju007>>
Citation :
 Bravo 

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1 Schumi 1re : Borne inférieure de bornes supérieures...  18-11-07 à 05:24
Ju007 >>

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Oui, c'est ça. Il y a plus simple que l'utilisation de ton lemme mais c'est bien ça, 

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gui_toure : Borne inférieure de bornes supérieures...  12-12-07 à 20:09
Salut Ayoub 

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Je dirais  
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1 Schumi 1re : Borne inférieure de bornes supérieures...  13-12-07 à 16:26
Salut gui_tou . 

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Oui, c'est ça. Une démo peut être?

 Posté par 
gui_toure : Borne inférieure de bornes supérieures...  13-12-07 à 19:46
Bien sûr 

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Avant de commencer, je tiens à dire que ce n'est pas de moi 

C'est tiré de mon précis (Bréal, Mathématiques tout-en-un, MPSI-PCSI)

Je me suis dit que ça pourrait t'intéresser :

Si , le sous-groupe  de  est dense dans .

On en déduit que pour tout point de [0,1] est limite d'une suite extraite de  donc que .

Si , on pose , p et q premiers entre eux. On a alors  donc :

Il en résulte  si q est pair (), et  si q est impair ().

En conséquence 

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1 Schumi 1re : Borne inférieure de bornes supérieures...  14-12-07 à 18:19
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 C'est une manière très compliqué (mais très intéressante) de prouver le résultat. En fait, j'ai du utiliser ce type de raisonnement juste après quand mon prof m'avait demandé la subsidiaire. Mais bien joué quand même! 

  Posté par 
kakashire : Borne inférieure de bornes supérieures...  14-12-07 à 22:00
salut[blank][/blank]