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Borne supérieure, inférieure
Ramanujan
Bonsoir,
Soit
Je cherche à déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A dans et
Je suis pas sûr de la rédaction.
Si A admet un majorant dans :
Tous les nombres de l'ensemble A sont inférieurs à 1, et 1 est le plus petit des majorants car il appartient à A. Le nombre 1 est rationnel et réel.
Donc
Si A admet un minorant dans :
Je dirais que la borne inférieure est 0 dans l'ensemble des réels et des rationnels, mais je ne sais pas comment le démontrer.
Bonsoir Ramanujan.
Que 0 soit rationnel et réel ne pose effectivement aucun soucis.
Montre que 0 est un minorant de A et que c'est le plus grand.
@Jezebeth
Je suis dans les exemples du cours, pas encore vu la caractérisation des bornes.
Si A admet 0 comme minorant dans :
Donc 0 est minorant de A dans et
Supposons que A admet un minorant plus grand que 0. Notons ce minorant :
Ca voudrait dire :
Et là je bloque.
salut
quel pinaillage !!!
la suite n --> 1/n est décroissante et de limite 0
et cette suite décrit l'ensemble A
il ne peut y avoir de borne inférieure (de A) autre que 0 !!!
Caractérisation de la borne supérieure par les suites, c'est 2 pages après dans mon livre en effet c'est plus rapide.
Mais y a pas une autre méthode ?
de toute façon pour tout h > 0 réel, il existe n > 0 entier tel que 0 < 1/n < h
On dirait bien que
de toute façon pour tout h > 0 il existe n tel que 0 < 1/n < h
il suffit de prendre n > 1/h ...
Ca veut dire que h ne sera jamais un minorant de l'ensemble A ?
A admet un minorant dans si
A admet 0 comme minorant dans si
Donc je dois avoir :
Mais je vois pas le lien avec ce qu'a mis Carpediem...
Là, avec ce post, tu viens de dire que 0 est UN minorant de A.
Il te reste à montrer que c'est le plus grand.
Donc tu prends un h > 0 et tu regardes si h minore encore A et si oui, à quelle(s) condition(s).
carpediem te montre justement que non puisqu'on peut trouver un entier n (qui va dépendre de h) tel que 1/n < h.
Conclusion 1 : h ne peut minorer A.
Conclusion 2 : 0 est le plus grand minorant de A.
Conclusion 3 : 0 a droit à l'appellation de Inf(A).
Là, avec ce post, tu viens de dire que 0 est UN minorant de A.
Il te reste à montrer que c'est le plus grand.
Donc tu prends un h > 0 et tu regardes si h minore encore A et si oui, à quelle(s) condition(s).
carpediem te montre justement que non puisqu'on peut trouver un entier n (qui va dépendre de h) tel que 1/n < h.
Conclusion 1 : h ne peut minorer A.
Conclusion 2 : 0 est le plus grand minorant de A.
Conclusion 3 : 0 a droit à l'appellation de Inf(A).
Merci beaucoup j'ai compris.
Je rappelle la définition donnée dans mon cours:
Soit A une partie de non vide et majorée par un réel a. Alors :
Exemple : je bloque sur une étape du raisonnement.
En effet, raisonnons par l'absurde et supposons :
Alors
Je comprends pas d'où sort cette inégalité
D'après le théorème précédent, appliqué avec
Pas compris non plus comment on obtient cette deuxième inégalité
Ramanujan, tu rentres en MPSI l'an prochain ?
Non, je reprends de zéro pour passer le CAPES l'an prochain.
J'ai fait une prépa y a 10 ans MPSI/MP.
L'agreg ça sera pas possible j'ai pas fait L3 maths mais école d'ingé.
Je te vois faire beaucoup (beaucoup) d'exercices.
Je te conseille de travailler d'avantage la Compréhension des objets du cours et de te limiter à un cadre restreint d'exercices.
Autre conseil : travaille aussi les notions élémentaires de raisonnement et le calcul propositionnel. Normalement ça fait vraiment progresser dans tout ce qui est Analyse. Le coup des bornes Sup et bornes Inf.
Ni toi ni le livre ne faites d'erreur. Si a < b alors il existe un réel c tel que a < c < b. Mais il existe aussi un réel c tel que a 
c b.
Il y a juste que livre préfère partir de l'hypothèse de restriction maximale a < c < b.
Je te vois faire beaucoup (beaucoup) d'exercices.
Je te conseille de travailler d'avantage la Compréhension des objets du cours et de te limiter à un cadre restreint d'exercices.
Autre conseil : travaille aussi les notions élémentaires de raisonnement et le calcul propositionnel. Normalement ça fait vraiment progresser dans tout ce qui est Analyse. Le coup des bornes Sup et bornes Inf.
Ce ne sont pas des exos, je suis dans la compréhension du cours, ce sont les exemples donnés dans mon livre.
J'essaie de bien comprendre les exemples donnés.
Ni toi ni le livre ne faites d'erreur. Si a < b alors il existe un réel c tel que a < c < b. Mais il existe aussi un réel c tel que a
c b.
Il y a juste que livre préfère partir de l'hypothèse de restriction maximale a < c < b.
D'accord merci !
J'avais pas pensé à ça mais en fait c'est évident dans R ce que vous avez écrit ! Pas besoin de passer par la borne inférieure comme je l'ai fait.
Si a < b alors il existe un réel c tel que a < c < b.
Dans la littérature bourbakiste, on dit que est un ensemble non troué.
(E,) est un ensemble troué s'il existe a,b dans E, tel que a < b et 
c 
E, c 
[a;b].
Autrement dit
Autrement dit, entre a et b il y a un "trou".
Encore un souci : pour la suite de la démonstration ils utilise le théorème du cours ci dessus mais idem je comprends pas pourquoi ils mettent l'inégalité stricte !
D'après le théorème précédent appliqué avec
Alors que d'après le cours c'est :
Y avait surement une coquille dans le livre ça marche nikel en refaisant la démo avec les propriétés du cours :
Supposons par l'absurde que :
Alors
D'après la caractérisation de la borne supérieure :
Soit
D'où :
De même pour la borne inférieure :
Prenons :
Soit
D'où :
Finalement : où
et
contradiction !
Simplement, rappelles-toi, toute proposition commençant par est vraie.
Par conséquent, est un théorème.
Donc n'existe pas dans
.
Éventuellement, dans , ce qui peut paraître intuitivement surprenant, mais est logiquement correct.
Je crois pas avoir vu ça dans mon cours sur la logique et les tables de vérité : pourquoi toute proposition commençant par tex](\forall x \in \emptyset)[/tex] est vraie ?
Un théorème ?
est une abréviation de :
Comme x appartenant à l'ensemble vide est une propriété fausse, l'implication est toujours vérifiée c'est ça ?
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