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bornée ou pas bornée

Posté par gouari (invité) 11-12-07 à 12:24

salut a tous
bien que j'ai deja pose la question sur le calcul du rayon de convergence de la serie entiere de terme general suivant :
                        an = tan(n/7)
et grâce a vos réponses et suggestions (un grand merci) j'ai conclut que le terme tan(n/7) est borné est puisque il y a divergence le rayon est désormais egal à 1. mais ce que je ne comprend pas c'est comment a-t-on montré que le terme tan(n/7) est borné ?

merci d'avance et a bientôt.

                          

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : bornée ou pas bornée. 11-12-07 à 13:40

Bonjour gouari ;

En écrivant \fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\;,\;n=7q_n+r_n\\q_n\in\mathbb{N}\;,\;r_n\in\{0,1,..,6\}} on a \fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\;,\;u_n=tan(q_n\pi+\frac{r_n\pi}{7})=tan(\frac{r_n\pi}{7})=u_{r_n}}
ce qui prouve que la suite (u_n) prend exactement les 7 valeurs \fbox{tan(\frac{k\pi}{7})\\k=0,1,2,3,4,5,6} (sauf erreur)

Posté par gouari (invité)re : bornée ou pas bornée 11-12-07 à 19:42

bonsoir ELHOR
d'abord je tiens a te passer mes salutations parceque ca fait bien longtemps que j'ai pas eu de tes nouvelles.
pardon mais je ne comprends pas boucoup pourquoi t'a pris le n = 7gn + rn et s'il te plaît est-ce la même demarche pour prouver si une suite periodique est bornée ou pas ?
merci encore pour le coup de pouce et a bientôt.

Posté par
lologuemon s'est déjà vu je crois... 11-12-07 à 20:31

Bonjour,
tan est Pi périodique donc tan(x)=tan(Pi+x)=tan(kPi +x)  k dans N (ou gn ??)
d'où pour r dans [0..6]   tan(rPi/7) = tan(kPi + rPi/7) = tan( (7k+r)Pi/7 )
tout entier naturel peut être écrit : n = 7k+r (essaye ça marche !!)

Une suite (Un) est bornée s'il existe M (dans R ou C...) tel que |Un|<= M
Or la suite est périodique donc il y a un nombre fini de valeurs prises par Un : on les notes ici U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6. il suffit de prendre le max des |Un| pour majorer...

Posté par gouari (invité)re : bornée ou pas bornée 11-12-07 à 20:37

bonsoir lologuem
est-ce de la même facon on peut montrerv que d'autres suites periodiques sont bornées ou non ?
merci d'avance.

Posté par gouari (invité)re : bornée ou pas bornée 11-12-07 à 20:46

bonsoir
comme par exemple
      tan(npi/5)
      tan(npi/6)
et pour le cas des suites sin(npi) , cos(npi) , sin(npi/6) , cos(npi/9)...
c'est seulement par curiosité

Posté par
lologuemre : bornée ou pas bornée 11-12-07 à 21:35

Ca fonctionne pour toute suite periodique (à condition qu'elle soit bien définie...tan(3Pi/6)!!!) mais aussi pour des fonctions continues sur R par exemple.

Posté par
lologuemre : bornée ou pas bornée 11-12-07 à 21:36

périodiques les fonctions...


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