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Bornes en coordonnées polaires

Posté par
Halback
16-05-19 à 11:23

Bonjour,

Comment détermine-t-on les bornes d'une intégrale après un changement de variable en coordonnées polaires ?
Par exemple, comment je trouve les bornes suivantes ?

\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}dxdydz}=\int_{?}^{?}{\int_{?}^{?}{r^2}}}drd\theta}

Posté par
Halback
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 11:27

Erreur de saisie, il n'y a pas de dz dans la 1ère intégrale.

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 11:54

Bonjour,

Il faut faire un dessin . Le domaine d'intégration est le carré [0,1]\times[0,1].

Comme l'intégrale est symétrique en x et y, il suffit de la calculer sur le domaine délimité par l'axe des x et les droites y=x, et x=1 puis de multiplier par 2.

Je vous laisse en déduire les bornes en polaires.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 11:55

ton changement de variables est x = r cos et y = r sin

si x et y varient entre 0 et 1, entre quoi et quoi doivent varier r et à ton avis ?

Posté par
Halback
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 13:07

Merci beaucoup,

j'ai trouvé, pour l'exemple, \theta\in[0,\frac{\pi}{4}] et r\in[0,\frac{1}{cos \theta}}].

Posté par
Glapion Moderateur
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 13:25

non si x et y varient entre 0 et 1, r = (x²+y²) varie entre 0 et 1

les cosinus et sinus doivent permettre à x et y de varier entre 0 et 1 donc varie entre 0 et /2

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 13:53

Je suppose qu'il multiplie le résultat par 2, comme je le lui avais suggéré.

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 13:55

De plus entre /4 et /2, il faudrait changer la borne supérieure de l'intégrale en r.

Posté par
Halback
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 14:32

Oui j'ai suivi l'indication de larrech et cherché comment décrire la figure obtenue (le triangle) à l'aide de r et \theta.

Les [0,\sqrt{2}], [0,\frac{\pi}{2}] c'est aussi ce que j'avais fait mais ça ne donne pas le bon résultat.

Mais d'une manière plus générale, il n'y a pas de "formules" pour trouver les bornes ?

En gros si j'ai un domaine D de \R^2, que je fais le changement de variable polaire f(x,y)=(r\cos \theta, r\sin \theta) comment explicite-t-on f^{-1}(D) ? J'imagine qu'on ne peut pas toujours faire un dessin.

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 15:08

Personnellement , je ne connais pas de "formule" passe partout.
Il reste  ce que suggérait Glapion.
On ne peut pas toujours faire de dessin, non, mais une connaissance de la nature géométrique du domaine d'intégration me semble indispensable.

Posté par
Halback
re : Bornes en coordonnées polaires 16-05-19 à 15:32

Merci pour vos réponses en tout cas.

Posté par
lafol Moderateur
re : Bornes en coordonnées polaires 17-05-19 à 00:11

Bonjour
ce que suggère Glapion va donner un quart de disque, et pas un carré, ou j'ai zappé quelque chose ? (vu l'heure c'est fort possible)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Bornes en coordonnées polaires 17-05-19 à 11:55

oui, à mon avis l'image du carré initial par le changement de variables est bien un quart de disque.

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 17-05-19 à 16:15

Oui, tu as raison, je me suis planté.

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 18-05-19 à 10:37

C'est dans ce que j'ai raconté le 16 à 15h08 que j'ai un peu déraillé.

Posté par
carpediem
re : Bornes en coordonnées polaires 18-05-19 à 12:09

salut

Glapion @ 17-05-2019 à 11:55

oui, à mon avis l'image du carré initial par le changement de variables est bien un quart de disque.
c'est la réciproque de la quadrature du cercle ...

bon il faut se lancer ...

posons f(x) = \sqrt {x^2 + y^2} $ et $ I = \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dxdy

f(x, y) = f(y, x) => I = 2 \int_0^1 \left( \int_0^x f(x, y) dy) \right)dx = 2J

Bornes en coordonnées polaires
J = \int_0^1 \int_0 ^{\frac {\pi} 4} r^2dr dt +   \int_1^{\sqrt 2} \int_t^{\frac {\pi} 4}(1 + \sin^2t)drdt

...

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 18-05-19 à 12:29

Mon calcul conduisait à

I=2\int_0^{\pi/4}dt\int_0^{\frac{1}{\cos t}} r^2 dr

ce qui ne devrait pas être loin d'être la même chose

...

Posté par
carpediem
re : Bornes en coordonnées polaires 18-05-19 à 13:02

ouais mais je pense qu'il y a des erreurs de bornes dans la deuxième intégrale du calcul de J

et je ne vois pas d'où vient ton 1/ cos t ...

J = \int_0^1 \int_0 ^{\frac {\pi} 4} r^2dr dt +    \int_0^{\frac {\pi} 4}\int_1^{\sqrt {1 + \tan^2 t}} r^2drdt

ha enfin je suis d'accord avec toi ...

Posté par
larrech
re : Bornes en coordonnées polaires 18-05-19 à 14:25

Ah, oui, là c'est pile poil la même chose.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Bornes en coordonnées polaires 19-05-19 à 11:04

Oui je vois que j'ai raconté des bêtises. r ne varie pas entre 0 et 1 mais de 0 à 1/cos t.
pas si facile ces changements de variables polaires dans les intégrales doubles.
désolé .

Posté par
carpediem
re : Bornes en coordonnées polaires 19-05-19 à 11:45

no problemo ...

même un orange doit se mettre au vert parfois ...

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