Inscription / Connexion Nouveau Sujet
bornes sup et inf
Bonjour,
Je n'arrive pas à traiter cette question de mon exercice.
Soit A et B deux parties bons vides et bornées de |R.
Montrer que (A inter B), (A+B) et AB admet des bornes supérieures et inférieures.
Merci!
Soit A et B deux parties bons vides et bornées de |R.
non vides.
a=supA et b=SupB
Pour tout x 
A ona x≤A et tout y B , on a y≤b.
z A 
B 
xzA donc z≤a, donc A B est majorée . c'est ça ?
a=supA et b=SupB
Pour tout x
A ona x≤a et tout y B , on a y≤b.
z
A B zA donc z≤a, donc A B est majorée . c'est ça ?Merci.
Quant à A+B ona:
Pour tout z=x+y (A+B) avec x A et y B ona:
x≤a
y≤b
z=x+y≤a+b , donc A+b est majorée.
Même manière pour montrer qu'il est minoré.
Sup(AB)=inf(a,b). Si c'est bon est-ce qu'il suffit de le dire?
Pour A+B.:
Pour tout x (A+B) ona x≤a+b, donc sup(A+B)≤a+b.
Ona aussi x=a'+b'≤sup(A+B) a'≤sup(A+B)-b' avec a' A et b' B, donc A est majoré par sup(A+B)-b
Et donc : a≤sup(A+B)-b' qui devient :
b'≤sup(A+B)-a , donc B est majoré par sup(A+B)-a et par conséquent :
b≤sup(A+B)-a qui donne a+b≤sup(A+B) et en fin l'égalité a+b=sup(A+B).
C'est bon?
affirmer sans prouver risque fort de conduire à dire des âneries ... pour l'intersection ...
on a évidemment :
pour la somme travailler avec des epsilon donne immédiatement la réponse correctement ...
...
Bonjour,
>0, 
(x,y) A×B / a+b-<x+y<a+b
.
Donc : >0, z (A+B)/ (a+b)- <z<(a+b)
Je peux conclure que Sup(A+B)=a+b.
la deuxième ligne est inutile : a + b est un élément de A + B ...
la démonstration est évidemment équivalente pour la borne inf ...
et pour le produit ?
on verra par la suite pour l'intersection ...
Bonjour Carpediem,
Excusez-moi pour le retard.
Pour A×B l'énoncé à préciser qu'ils sont inclut dans R+.
x A , x≤a
y B , y≤b
Et ona xy≤ab
A×B est majorée par ab.
Soit Sup(A×B)≤ab (*)
On a aussi pour tout x de A et y de B:
xy≤sup(A×B), soit x≤sup(A×B)/y,
L'ensemble A est majorée par sup(A×B)/y.
Donc a≤sup(A×B)/y qui implique
y≤sup(A×B)/a , l'ensemble B est
majorée par sup(A×B)/a .
Donc b≤sup(A×B)/a qui implique
ab≤sup(A×B) (**)
D'après (*) et (**) ona :
ab=Sup(A×B).
C'est comme ça que je pu le faire.
Pui-je avoir d'autre méthode simple et clair ?
ça semble correct ... mais le pb est toujours cette division par y (remarquer que la fonction inverse est décroissante ...) qui peut conduire à des pb si y = 0
REM : savoir faire avec A et B des parties de R+ permet de savoir faire avec A et B quelconques (mais ça sera plus chiant ... puisqu'il faudra distinguer des cas)
revenir encore et toujours à la définition ...
0 < a - e < x < a et 0 < b - e < y < b
on peut donc multiplier membre à membre : ab - (a + b)e + e^2 <xy < ab
un choix de e suffisamment petit permet d'écrire que ab - h < xy < ab
avec h = f(e) --> 0 quand e --> 0
Bien compris !
Pour l'intersection :
a=SupA x A , >0 : x ]a- ; a[
b=SupB y B , >0 : y ]b- ; b[.
z A 
B , >0 : z ]a- , a[ ]b- ; b[
Et je suis bloqué.
Bien compris !
Pour l'intersection :
a=SupA
x A , >0 : x ]a- ; a[
b=SupB
y B , >0 : y ]b- ; b[.
z A B , >0 : z ]a- , a[ ]b- ; b[
Et je suis bloqué.
z≤a et z≤b
z≤inf (a,b) ?Excusez .Je dis quelque chose qui est évident sans importance.
Bonsoir,
Vu l'énoncé j'ai l'impression qu'il n'est pas nécessaire, d'exprimer les bornes sup et inf de AUB, AB et AB en fonction de sup A ,Sup B, Inf A et Inf B. Mais simplement de montrer leurs existences.
Bonsoir,
Il n'a pas de borne sup.
pour info la bornes sup de l'ensemble vide est -oo et sa borne inf est +oo ...
on peut remarquer que tout majorant de A majore toute partie non vide de A
comme il en est de même pour B il en est évidemment de même pour A B qui est une partie de A et de B ...
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac